danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-5-526-532dan-1000Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSДиофантовы приближения с постоянной правой частью неравенств на коротких интервалах. 1Diophantine approximations with a constant right-hand side of inequalities on short intervals. 1БерникВ. И.BernikV. I.

Берник Василий Иванович – д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Bernik Vasiliy I. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Pro fessor, Chief researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

bernik.vasili@mail.ruБударинаН. В.BudarinaN. V.

Бударина Наталья Викторовна – д-р физ.-мат. наук

A91 K584, Дублин Роуд, Дандолк

Budarina Nataliya V. – D. Sc. (Physics and Mathematics)

A91 K584, Dublin Road, Dundalk

natalia.budarina@dkit.ieЗасимовичЕ. В.ZasimovichE. V.

Засимович Елена Васильевна – аспирант

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Zasimovich Elena V. – Postgraduate student

11, Surganov Str., 220072, Minsk

elena.guseva.96@yandex.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusТехнологический институт ДандолкаInstitute of Technology of Dundalk202107112021655526–532Copyright © Берник В.И., Бударина Н.В., Засимович Е.В., 20212021Берник В.И., Бударина Н.В., Засимович Е.В.Bernik V.I., Budarina N.V., Zasimovich E.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1000

Задача о нахождении меры Лебега 𝛍 множества B1 покрытий решений неравенства ⎸Px⎹ <Q−w, w>n , Q ∈ N and Q >1,  в целочисленных полиномах P (x) степени не более n и высоты H(P) ≤ Q является одной из основных проблем метрической теории диофантовых приближений. Получена новая, наиболее сильная к настоящему времени, оценка 𝛍B <c(n)Q−w+n, n<w<n+1. Даже неэффективная версия этой оценки позволила В. Г. Спринджуку решить известную проблему Малера.

 

The problem of finding the Lebesgue measure 𝛍 of the set B1 of the coverings of the solutions of the inequality, ⎸Px⎹ <Q−w, w>n , Q ∈ N and Q >1, in integer polynomials P (x) of degree, which doesn’t exceed n and the height H (P) ≤ Q , is one of the main problems in the metric theory of the Diophantine approximation. We have obtained a new bound 𝛍B1 <c(n)Q−w+n, n<w<n+1, that is the most powerful to date. Even an ineffective version of this bound allowed V. G. Sprindzuk to solve Mahler’s famous problem.

диофантовы приближениякороткие интервалыгипотеза Малератеорема ДирихлеDiophantine approximationshort intervalsMahler’s conjectureDirichlet’s theoremReferencesMahler, K. Über das Maß der Menge aller S-Zahlen / K. Mahler // Math. Ann. – 1932. – Vol. 106, N 1. – P. 131–139. https://doi.org/10.1007/bf01455882Mahler K. Über das Maß der Menge aller S-Zahlen. Mathematische Annalen, 1932, vol. 106, no. 1, pp. 131–139 (in German). https://doi.org/10.1007/bf01455882Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск, 1967. – 181 с.Sprindzhuk V. G. Mahler’s problem in metric number theory. Minsk, 1967. 181 p. (in Russian).Bernik, V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials / V. I. Bernik // Acta Arith. – 1989. – Vol. 53, N 1. – P. 17–28.Bernik V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials. Acta Arithmetica, 1989, vol. 53, no. 1, pp. 17–28.Beresnevich, V. V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers / V. V. Beresnevich // Acta Arith. – 1999. – Vol. 90, N 2. – P. 97–112. https://doi.org/10.4064/aa-90-2-97-112Beresnevich V. V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers. Acta Arithmetica, 1999, vol. 90, no. 2, pp. 97–112. https://doi.org/10.4064/aa-90-2-97-112Bernik, V. I. Metric Diophantine Approximation on Manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson. – Cambridge, 1999. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991Bernik V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine Approximation on Manifolds. Cambridge, 1999. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991Budarina, N. On the rate of convergence to zero of the measure of extremal sets in metric theory of transcendental numbers / N. Budarina // Math. Z. – 2019. – Vol. 293, N 1–2. – P. 809–824. https://doi.org/10.1007/s00209-018-2211-1Budarina N. On the rate of convergence to zero of the measure of extremal sets in metric theory of transcendental numbers. Mathematische Zeitschrift, 2019, vol. 293, no. 1–2, pp. 809–824. https://doi.org/10.1007/s00209-018-2211-1Bernik, V. I. Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals / V. I. Bernik, F. Götze // Izvestiya: Mathematics. – 2015. – Vol. 79, N 1. – P. 18–39. https://doi.org/10.1070/im2015v079n01abeh002732Bernik V. I., Götze F. Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals. Izvestiya: Mathematics, 2015, vol. 79, no. 1, pp. 18–39. https://doi.org/10.1070/im2015v079n01abeh002732 8. Bernik V. I., Vasiliev D. V., Kudin A. S. On the number of integral polynomials of given degree and bounded height with small value of derivative at root of polynomial. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2014. vol. 22, no. 2, pp. 3–8 (in Russian).Берник, В. И. О числе целочисленных многочленов заданной степени и ограниченной высоты с малой производной в корне многочлена / В. И. Берник, Д. В. Васильев, А. С. Кудин // Тр. Ин-та математики. – 2014. – Т. 22, № 2. – С. 3–8.Bernik V. I. Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations. Acta Arithmetica, 1983, vol. 42, no. 3, pp. 219–253 (in Russian).Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.