danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-6-647-653dan-1016Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО плотностях распределения алгебраических точек при различных высотных функцияхOn distribution densities of algebraic points under different height functionsКоледаД. В.KoledaD. V.

Коледа Денис Владимирович – канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск, Республика Беларусь

Koleda Denis V. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Senior researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

koledad@rambler.ruИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202126122021656647653Copyright © Коледа Д.В., 20212021Коледа Д.В.Koleda D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1016

Рассматривается пространственное распределение точек с алгебраическими сопряженными координатами фиксированной степени, построенное с помощью высотной функции. Получена универсальная оценка сверху и снизу для плотности распределения таких точек при произвольной высотной функции. Показано, как по заданной совместной плотности распределения коэффициентов случайного многочлена степени n построить такую высотную функцию H, что многочлены q степени n, равновероятно выбираемые с условием H[ ] 1, q ≤ имели бы такое же распределение корней, как у исходного случайного многочлена.

In the article we consider the spatial distribution of points, whose coordinates are conjugate algebraic numbers of fixed degree. The distribution is introduced using a height function. We have obtained universal upper and lower bounds of the distribution density of such points using an arbitrary height function. We have shown how from a given joint density function of coefficients of a random polynomial of degree n, one can construct such a height function H that the polynomials q of degree n uniformly chosen under H[q] ≤1 have the same distribution of zeros as the former random polynomial.

алгебраические числаалгебраические точкираспределение алгебраических чиселn-точечная корреляционная функциядиофантовы приближенияalgebraic numbersalgebraic pointsdistribution of algebraic numbersn-point correlation functionDiophantine approximationReferencesGötze, F. Joint distribution of conjugate algebraic numbers: a random polynomial approach / F. Götze, D. Koleda, D. Zaporozhets // Adv. Math. – 2020. – Vol. 359. – Art. 106849. https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106849Götze F., Koleda D., Zaporozhets D. Joint distribution of conjugate algebraic numbers: a random polynomial approach. Advances in Mathematics, 2020, vol. 359, art. 106849. https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106849Коледа, Д. В. Об алгебраических точках фиксированной степени и ограниченной высоты / Д. В. Коледа // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2021. – Т. 65, № 5. – С. 519–525. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2021-65-5-519-525Koleda D. V. On algebraic points of fixed degree and bounded height. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2021, vol. 65, no. 5, pp. 519–525 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2021-65-5-519-525Chern, S.-J. The distribution of values of Mahler’s measure / S.-J. Chern, J. D. Vaaler // J. Reine Angew. Math. – 2001. – Vol. 2001, N 540. – P. 1–47. https://doi.org/10.1515/crll.2001.084Chern S.-J., Vaaler J. D. The distribution of values of Mahler’s measure. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2001, vol. 2001, no. 540, pp. 1–47. https://doi.org/10.1515/crll.2001.084Masser, D. Counting algebraic numbers with large height. I / D. Masser, J. D. Vaaler // Diophantine approximation. – Vienna: Springer-Verlag Wien, 2008. – Vol. 16. – P. 237–243. https://doi.org/10.1007/978-3-211-74280-8_14Masser D., Vaaler J. D. Counting algebraic numbers with large height. I. Diophantine approximation. Vienna, Springer-Verlag Wien, 2008, pp. 237–243. https://doi.org/10.1007/978-3-211-74280-8_14Grizzard, R. Slicing the stars: counting algebraic numbers, integers, and units by degree and height / R. Grizzard, J. Gunther // Algebra and Number Theory. – 2017. – Vol. 11, N 6. – P. 1385–1436. https://doi.org/10.2140/ant.2017.11.1385Grizzard R., Gunther J. Slicing the stars: counting algebraic numbers, integers, and units by degree and height. Algebra and Number Theory, 2017, vol. 11, no. 6, pp. 1385–1436. https://doi.org/10.2140/ant.2017.11.1385Bernik, V. I. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves / V. I. Bernik, F. Götze, A. G. Gusakova // Зап. научн. сем. ПОМИ. – СПб., 2016. – Т. 448. – С. 14–47.Bernik V., Götze F., Gusakova A. On the distribution of points with algebraically conjugate coordinates in a neighborhood of smooth curves. Journal of Mathematical Sciences, 2017, vol. 224, no. 2, pp. 176–198. https://doi.org/10.1007/s10958-017-3404-6Бударина, Н. В. Оценки снизу для количества векторов с алгебраическими координатами вблизи гладких поверхностей / Н. В. Бударина, Д. Диккинсон, В. И. Берник // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2020. – Т. 64, № 1. – С. 7–12. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2020-64-1-7-12Budarina N. V., Dickinson D., Bernik V. I. Lower bounds for the number of vectors with algebraic coordinates near smooth surfaces. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2020, vol. 64, no. 1, pp. 7–12 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2020-64-1-7-12Tao, T. Local universality of zeroes of random polynomials / T. Tao, V. Vu // Int. Math. Res. Not. – 2015. – Vol. 2015, N 13. – P. 5053–5139. https://doi.org/10.1093/imrn/rnu084Tao T., Vu V. Local universality of zeroes of random polynomials. International Mathematics Research Notices, 2015, vol. 2015, no. 13, pp. 5053–5139. https://doi.org/10.1093/imrn/rnu084

The authors declare that there are no conflicts of interest present.