danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2022-66-1-7-11dan-1032Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКлассическое решение смешанной задачи для нелинейного уравненияClassical solution of the mixed problem for a nonlinear equationКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович – академик, доктор физико-математических наук, профессор.

Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Korzyuk Viktor I. – Academician, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

korzyuk@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0002-1482-9106РудькоЯ. В.RudzkoJ. V.

Рудько Ян Вячеславович – магистрант.

Пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Rudzko Jan V. – Master’s degree student.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

janycz@yahoo.comИнститут математики, Национальная академия наук БеларусиInstitute of Mathematics, National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University202209032022661711Copyright © Корзюк В.И., Рудько Я.В., 20222022Корзюк В.И., Рудько Я.В.Korzyuk V.I., Rudzko J.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1032

В данном сообщении рассматривается первая смешанная задача для нелинейного гиперболического уравнения в четверти плоскости, где на нижнем основании задаются условия Коши, а на боковой границе задается условие Дирихле. Решение строится методом характеристик в неявном аналитическом виде как решение интегрального уравнения. Проводится исследование разрешимости интегральных уравнений, гладкости решений и их зависимости от начальных данных. Доказывается единственность и устанавливаются условия, при которых существует кусочно-гладкое и классическое решение смешанной задачи.

The first mixed problem for a nonlinear equation is considered in the quarter plane. The Cauchy conditions are set at the bottom of the boundary. The Dirichlet condition is set on the left part of the boundary. The solution is constructed using the method of characteristics in an implicit analytical form as a solution of the integral equation. The solvability of these integral equations, the smoothness of the solutions, and their dependence on the initial data are investigated. The uniqueness is proved and the conditions are established, under which there exists a piecewise smooth and classical solution of the first mixed problem.

нелинейное уравнениеклассическое решениесмешанная задачаметод характеристикnonlinear equationclassical solutionmixed problemmethod of characteristicsReferencesФизическая энциклопедия: в 5 т. / редкол.: А. М. Прохоров (гл. ред.) [и др.]. – М., 1992. – Т. 3. – 642 с.Prokhorov A. M. [et al.], eds. Physical Encyclopedia: in 5 vol. Moscow, 1992, vol. 3. 642 p. (in Russian).Evans, L. C. Partial differential equations / L. C. Evans. – Providence, R. I., 2010. – 749 p. https://doi.org/10.1090/gsm/019Evans L. C. Partial differential equations. Providence, R. I., 2010. 749 p. https://doi.org/10.1090/gsm/019Столярчук, И. И. Классические решения смешанных задач для уравнения Клейна–Гордона–Фока / И. И. Столярчук. – Гродно, 2020. – 124 л.Staliarchuk I. I. Classical solutions of the problems for Klein–Gordon–Fock equation. Hrodna, 2020. 124 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.