danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2022-66-1-12-20dan-1033Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКомпактные разностные схемы для многомерного уравнения Клейна–ГордонаCompact difference schemes for multidimensional Klein–Gordon equationsХоангТхи Киеу АньHoangThi Kieu Anh

Хоанг Тхи Киеу Ань – аспирант.

Пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Hoang Thi Kieu Anh – Postgraduate student.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

kieuanhhoang86@gmail.comБелорусский государственный университет; Университет природных ресурсов и окружающей средыBelarusian State University; Ho Chi Minh City University of Natural Resources and Environment2022090320226611220Copyright © Хоанг Т., 20222022Хоанг Т.Hoang T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1033

В настоящей работе рассматриваются компактные разностные схемы порядка O(| h|4 +  τ2) для уравнения Клейна–Гордона в многомерном случае. При изучении устойчивости этих разностных схем используется теория операторно-разностных схем А. А. Самарского и доказывается сильная устойчивость разностного решения по отношению к малому возмущению начальных условий, правой части и коэффициентов уравнений. Теоретические результаты подтверждаются тестовыми численными расчетами.

Abstract. In this article, we consider a compact difference approximation of the schemes of order O(| h|4  +  τ2), h = (h1, h2, ..., hp) for the Klein–Gordon equations in the multidimensional case. In studying the stability of these difference schemes, the theory of operator-difference schemes by A. A. Samarskii is used, and the strong stability of difference schemes is proved with respect to a small perturbation of the initial conditions, the right-hand side and the coefficients of the equations. The theoretical results are confirmed by test numerical calculations.

компактная разностная схемамногомерное уравнение Клейна–Гордонааприорные оценкиустойчивостьсходимостьcompact difference schemesmultidimentional Klein–Gordon equationpriori estimatesstabilityconvergenceАвтор выражает благодарность профессору П.П. Матусу за внимание к работе и полезные советы, полученные при подготовке настоящей работыThe author expresses her sincere gratitude to Professor P.P. Matus for help, advice and recommendations received during the preparation of this workReferencesРогов, Б. В. Высокоточная монотонная компактная схема бегущего счета для многомерных уравнений гиперболического типа / Б. В. Рогов // Журн. вычисл. математики и матем. физ. – 2013. – Т. 53, № 2. – С. 264–274. https://doi.org/10.7868/S0044466913020130Rogov B. V. High-order accurate monotone compact running scheme for multidimensional hyperbolic equations. Computational Mathematics and Mathematics and Mathematical Physics, 2013, vol. 53, no. 2, pp. 205–214. https://doi.org/10.1134/s0965542513020097Толстых, А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А. И. Толстых. – М., 1990. – 230 с.Tolstykh A. I. Compact difference schemes and their application to problems of aerohydrodynamics. Moscow, 1990. 230 p. (in Russian).Li, Q. Compact difference scheme for two-dimensional fourth-order hyperbolic equation / Qing Li, Qing Jang // Adv. Differ. Equ. – 2019. – Vol. 2019. – Art. 328. https://doi.org/10.1186/s13662-019-2094-4Qing Li, Qing Yang. Compact difference scheme for two-dimensional fourth-order hyperbolic equation. Advances in Difference Equations, 2019, vol. 2019, art. 328. https://doi.org/10.1186/s13662-019-2094-4Ding, H. A new fourth-order compact finite difference scheme for the two-dimensional second-order hyperbolic equation / Henfei Ding, Yuxin Zhang // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2009. – Vol. 230, N 2. – P. 626–632. https://doi.org/10.1016/j.cam.2009.01.001Henfei Ding, Yuxin Zhang. A new fourth-order compact finite difference scheme for the two-dimensional second-order hyperbolic equation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, vol. 230, no. 2, pp. 626–632. https://doi.org/10.1016/j.cam.2009.01.001Zlotnik, A. On compact 4th order finite-difference schemes for the wave equation / Alexander Zlotnik, Olga Kireeva [Electronic resource]. – Mode of access: http://arxiv.org/abs/2011.14104v2. – Date of access: 08.09.2021.Zlotnik A., Kireeva O. On compact 4th order finite-difference schemes for the wave equation. Available at: http://arxiv.org/abs/2011.14104v2 (accessed 08 September 2021).Zlotnik, A. On higher-order compact ADI schemes for the variable coefficient wave equation / Alexander Zlotnik, Raimondas Ciegis // Applied Mathematics and Computation. – 2022. – Vol. 412. – Art. 126565. https://doi.org/10.1016/j.amc.2021.126565Zlotnik A., Ciegis R. On higher-order compact ADI schemes for the variable coefficient wave equation. Applied Mathematics and Computation, 2022, vol. 412, art. 126565. https://doi.org/10.1016/j.amc.2021.126565Матус, П. П. Компактные разностные схемы для уравнения Клейна–Гордона / П. П. Матус, Хоанг Тхи Киеу Ань // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2020. – Т. 64, № 5. – С. 526–533. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2020-64-5-526-533Matus P. P., Hoang Thi Kieu Anh. Compact difference schemes for Klein–Gordon equation. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2020, vol. 64, no. 5, pp. 526–533 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2020-64-5-526-533Caudrey, P. J. The Sine-Gordon equation as a model classical field theory / P. J. Caudrey, J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon //I1 Nuovo Cimento B Series 11. – 1975. – Vol. 25, N 2. – P. 497–512. https://doi.org/10.1007/bf02724733Caudrey P. J., Eilbeck J. C., Gibbon J. D. The sine-Gordon equation as a model classical field theory. II Nuovo Cimento B Series 11, 1975, vol. 25, no. 2, pp. 497–512. https://doi.org/10.1007/bf02724733Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М., 1989. – 616 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. New York: Marcel Dekker, Inc., 2001. 761 p. https://doi.org/10.1201/9780203908518Самарский, А. А. Разностные схемы с операторными множителями / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич П. П. Матус. – Минск, 1998. – 442 с.Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. Dordrecht, 2002. 384 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журн. вычисл. математики и матем. физ. – 1963. – Т. 3, № 5. – С. 812–840.Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107–1146. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6Матус, П. П. Компактные разностные схемы на трехточечном шаблоне для гиперболических уравнений второго порядка / П. П. Матус, Хоанг Тхи Киеу Ань // Дифференциальные уравнения. – 2021. – Т. 57, № 7. – С. 963–975. https://doi.org/10.31857/s0374064121070098Matus P. P., Hoang Thi Kieu Anh. Compact difference schemes with a three-point stencil for second-order hyperbolic equations. Differential Equations, 2021, vol. 57, no. 7, pp. 934–946. https://doi.org/10.1134/s0012266121070090

The authors declare that there are no conflicts of interest present.