danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2022-66-4-391-396dan-1077Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSЗадача Гурса на плоскости для квазилинейного гиперболического уравненияGoursat’s problem on the plane for a quasilinear hyperbolic equationКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович – академик, доктор физико-математических наук, профессор. 

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

 

Korzyuk Viktor I. – Academician, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor. 

11,  Surganov  Str.,  220072,  Minsk

korzyuk@bsu.byКовнацкаяО. А.KovnatskayaO. A.

Ковнацкая Ольга Анатольевна – кандидат физико-математических наук. 

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

 

Kovnatskaya Olga A. – Ph. D. (Physics and Mathematics).

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

Kovnatskaya@bsu.byСевастюкВ. А.SevastyukV. A.

Севастюк Владимир Александрович – ведущий инженер-программист.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

 

Sevastyuk Vladimir A. – Lead Software Developer. 

11,  Surganov  Str.,  220072,  Minsk

Институт математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University202207092022664391396Copyright © Корзюк В.И., Ковнацкая О.А., Севастюк В.А., 20222022Корзюк В.И., Ковнацкая О.А., Севастюк В.А.Korzyuk V.I., Kovnatskaya O.A., Sevastyuk V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1077

Получено классическое решение задачи для квазилинейного гиперболического уравнения в случае двух независимых переменных с заданными для искомой функции условиями на характеристических линиях. Задача сводится к системе уравнений с вполне непрерывным оператором. Решение строится методом последовательных приближений. Проводятся обоснования. Кроме того, показывается для рассмотренной задачи единственность полученного классического решения. Доказаны необходимые и достаточные условия согласования заданных функций из рассмотренной в сообщении задачи, при выполнении которых классическое решение ее существует при наличии определенной гладкости заданных функций.

A classical solution of the problem for a quasilinear hyperbolic equation in the case of two independent variables with given conditions for the desired function on the characteristic lines is obtained. The problem is reduced to a system of equations with a completely continuous operator. We constructed the unique solution by the method of successive approximations and showed the necessary and sufficient smoothness and matching conditions on given functions.

задача Гурсаквазилинейное уравнениеклассическое решениеметод последовательных приближенийусловия согласованияGoursat’s problemquasilinear equationclassical solutionmethod of successive approximationsmatching conditionsReferencesКорзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – М., 2021. – 480 с.Korzyuk V. I. Equations of Mathematical Physics. Moscow, 2021. 480 p. (in Russian).Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М., 1970. – 712 c.Koshlyakov N. S., Gliner E. B., Smirnov M. M. Partial Differential Equations of Mathematical Physics. Moscow, 1970. 712 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Решения задач для волнового уравнения с условиями на характеристиках / В. И. Корзюк, О. А. Ковнацкая // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2021. – Т. 57, № 2. – С. 148–155. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-2-148-155Korzyuk V. I., Kovnatskaya O. A. Solutions of problems for the wave equation with conditions on the characteristics. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2021, vol. 57, no. 2, pp. 148–155 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-2-148-155Корзюк, В. И. Задачи для одномерного волнового уравнения с условиями на характеристиках и нехарактеристических линиях / В. И. Корзюк, О. А. Ковнацкая, В. П. Сериков // Тр. Ин-та математики. – 2021. – Т. 29, № 1–2. – С. 106–112.Korzyuk V. I., Kovnatskaya O. A., Serikov V. P. Problems for a one-dimensional wave equation with conditions on characteristics and non-characteristic lines. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2021, vol. 29, no. 1–2, pp. 106–112 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференциальные уравнения. – 2017. – Т. 53, № 1. – С. 77–88.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for second-order hyperbolic equation in curvilinear half-strip with variable coefficients. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 1, pp. 74–85. https://doi.org/10.1134/s001226611701007Миронов, А. Н. К методу Римана решения одной смешанной задачи / А. Н. Миронов // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. – 2007. – № 2. – С. 27–32.Mironov A. N. On the Riemann method for solving one mixed problem. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya: fiziko-matematicheskie nauki [Bulletin of the Samara State Technical University. Series: Physical and Mathematical Sciences], 2007, no. 2, pp. 27–32 (in Russian).Наумов, О. Ю. Задача для уравнения колебания струны с производными по нормали на нехарактеристических частях границы треугольника и специальным условием сопряжения на характеристике / О. Ю. Наумов // Научные доклады ежегодной межвузовской 55 Научной конференции СамГПУ. – Самара, 2001. – С. 58–61.Naumov O. Yu. The problem for the string vibration equation with normal derivatives on noncharacteristic parts of the triangle boundary and a special conjugation condition on the characteristic. Nauchnye doklady ezhegodnoy mezhvuzovskoy 55 Nauchnoy konferentsii Samarskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta [Scientific reports of the annual interuniversity 55th Scientific Conference of the Samara State Pedagogical University]. Samara, 2001, pp. 58–61 (in Russian).Koeber, M. Inclusion of solutions of initial value problems for quasilinear hyperbolic equations / M. Koeber // Math. Res. – 1995. – Vol. 89. – P. 132–137.Koeber M. Inclusion of solutions of initial value problems for quasilinear hyperbolic equations. Mathematical Research, 1995, vol. 89, pp. 132–137.Корзюк, В. И. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций: в 10 ч. / В. И. Корзюк, И. С. Козловская. – Минск, 2017. – Ч. 1, 2.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Classical problem solutions for hyperbolic equations: A course of lectures in 10 parts. Minsk, 2017, part 1, 2 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.