danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2022-66-5-479-488dan-1086Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПериодические и почти периодические решения уравнений Риккати с линейной отражающей функциейPeriodic and almost periodic solutions of the Riccati equations with linear reflecting functionБелокурскийМ. С.BelokurskyM. S.

Белокурский Максим Сергеевич – канд. физ.-мат.наук, доцент.

ул. Советская, 104, 246028, Гомель 

Belokursky Maksim S. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

104, Sovetskaya Str., 246028, Gomel

drakonsm@ya.ruГомельский государственный университет имени Франциска СкориныFrancisk Skorina Gomel State University202202112022665479488Copyright © Белокурский М.С., 20222022Белокурский М.С.Belokursky M.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1086

Исследуется уравнение Риккати с помощью метода отражающей функции Мироненко. Предварительно осуществляется построение класса уравнений Риккати, обладающих отражающей функцией определенного вида. В этом направлении, в частности, найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение Риккати имело линейную по фазовой переменной отражающую функцию. Эти условия носят конструктивный характер, поскольку на их основе получена формула, которая выражает линейную по фазовой переменной отражающую функцию через коэффициенты уравнения Риккати. Дополнительно исследована зависимость между свойством четности (нечетности) коэффициентов уравнения Риккати и наличием у него линейной по фазовой переменной отражающей функции. Применение метода отражающей функции Мироненко к построенному классу уравнений Риккати позволило установить достаточные условия, при выполнении которых все его решения являются периодическими либо почти периодическими. Найден признак отсутствия периодических решений у почти периодических уравнений Риккати. Приведен пример квазипериодического уравнения Риккати с квазипериодической отражающей функцией, которое имеет периодическое решение.

The method of Mironenko’s reflecting function is used for investigation of Riccati equations. The class of Riccati equations with certain-type reflecting function has been preliminarily constructed. The necessary and sufficient conditions, under which the Riccati equation would have a reflecting function linear in phase variable, are proved. These conditions are constructive in nature, since on their basis the formula is obtained, which shows the linear in phase variable reflecting function in terms of the coefficients of the Riccati equation. Additionally, the relationship between the parity (oddness) property of the coefficients of the Riccati equation and the existence of a reflecting function linear in phase variable is investigated. The application of the method of Mironenko’s reflecting function to the constructed class of Riccati equations revealed sufficient conditions, under which all its solutions are periodic or almost periodic. A sign of no periodic solutions for almost periodic Riccati equations is obtained. An example of the quasi-periodic Riccati equation with quasi-periodic reflecting function, which has a periodic solution, is given.

отражающая функция Мироненкопериодическое решениепочти периодическое решениеуравнение Риккатиквазипериодическое решениелинейная отражающая функцияMironenko’s reflecting functionperiodic solutionalmost periodic solutionRiccati equationquasiperiodic solutionlinear reflecting functionReferencesМироненко, В. И. Классы систем с совпадающими отражающими функциями / В. И. Мироненко // Дифференц. уравнения. – 1984. – Т. 20, № 12. – С. 2173–2176.Mironenko V. I. Сlasses of systems with same reflecting functions. Differentsial’nye Uravneniya = Differential Equations, 1984, vol. 20, no. 12, pp. 2173–2176 (in Russian).Zhou, Z. Research on the properties of some planar polynomial differential equations / Z. Zhou // Appl. Math. Comput. – 2012. – Vol. 218, N 9. – P. 5671–5681. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.11.062Zhou Z. Research on the properties of some planar polynomial differential equations. Applied Mathematics and Computation, 2012, vol. 218, no. 9, pp. 5671–5681. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.11.062Zhou, Z. On the structure of the equivalent differential systems and their reflecting integrals / Z. Zhou // Bull. Braz. Math. Soc. (N. S.). – 2017. – Vol. 48, N 3. – P. 439–447. https://doi.org/10.1007/s00574-016-0026-4Zhou Z. On the structure of the equivalent differential systems and their reflecting integrals. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society. New Series, 2017, vol. 48, no. 3, pp. 439–447. https://doi.org/10.1007/s00574-016-0026-4Musafirov, E. V. Reflecting function and periodic solutions of differential systems with small parameter / E. V. Musafirov // Indian J. Math. – 2008. – Vol. 50, N 1. – P. 63–76.Musafirov E. V. Reflecting function and periodic solutions of differential systems with small parameter. Indian Journal of Mathematics, 2008, vol. 50, no. 1, pp. 63–76.Мусафиров, Э. В. Допустимые возмущения системы Лэнгфорда / Э. В. Мусафиров // Проблемы физики, математики и техники. – 2016. – № 3 (28). – С. 47–51.Musafirov E. V. Admissible perturbations of Langford system. Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2016, no. 3 (28), pp. 47–51 (in Russian).Деменчук, А. К. О существовании частично нерегулярных почти периодических решений линейных неоднородных дифференциальных систем в одном критическом нерезонансном случае / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2004. – Т. 40, № 5. – С. 590–596.Demenchuk A. K. On the existence of partially irregular almost periodic solutions of linear nonhomogeneous differential systems in a critical nonresonance case. Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 5, pp. 634–640. https://doi.org/10.1023/ b:dieq.0000043521.06175.afДеменчук, А. К. О частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А. К. Деменчук // Укр. мат. журн. – 2005. – Т. 57, № 8. – С. 1325–1333.Demenchuk A. K. On partially irregular almost periodic solutions of weakly nonlinear ordinary differential systems. Ukrainian Mathematical Journal, 2005, vol. 57, no. 8, pp. 1325–1333. https://doi.org/10.1007/s11253-005-0264-xZhang, C. Ergodicity and asymptotically almost periodic solutions of some differential equations / C. Zhang // Int. J. Math. Math. Sci. – 2001. – Vol. 25, N 12. – P. 787–801. https://doi.org/10.1155/s016117120100429xZhang C. Ergodicity and asymptotically almost periodic solutions of some differential equations. International Journal of Mathematics and Mathеmatical Sciences, 2001, vol. 25, no. 12, pp. 787–801. https://doi.org/10.1155/s016117120100429x 488Белокурский, М. С. Почти периодические решения почти периодического уравнения Абеля с линейной отражающей функцией / М. С. Белокурский // Проблемы физики, математики и техники. – 2020. – № 4 (45). – С. 88–90.Belokursky M. S. Almost periodic solutions of the almost periodic Abel equation with linear reflecting function. Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2020, no. 4 (45), pp. 88–90 (in Russian).Белокурский, М. С. Периодическая отражающая функция нелинейной квазипериодической дифференциальной системы с двухчастотным базисом / М. С. Белокурский, А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2013. – Т. 49, № 10. – С. 1356–1360.Belokursky M. S., Demenchuk A. K. Periodic reflecting function of a nonlinear quasiperiodic differential system with a two-frequency basis. Differential Equations, 2013, vol. 49, no. 10, pp. 1323–1327. https://doi.org/10.1134/s0012266113100145Мироненко, В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем / В. И. Мироненко. – Гомель, 2004. – 196 с.Mironenko V. I. Reflecting Function and the Research of Multidimensional Differential Systems. Gomel, 2004. 196 p. (in Russian).Егоров, А. И. Уравнения Риккати / А. И. Егоров. – М., 2001. – 320 с.Egorov A. I. Riccati Equations. Moscow, 2001. 320 p. (in Russian).Барис, Я. С. О взрывных решениях неавтономных квадратичных дифференциальных систем / Я. С. Барис, П. Я. Барис, Б. Рухлевич // Дифференц. уравнения. – 2006. – Т. 42, № 3. – С. 302–307.Baris J. S., Baris P. J., Ruchlevich B. On blow-up solutions of nonautonomous quadratic differential systems. Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 3, pp. 320–326. https://doi.org/10.1134/s0012266106030025Мироненко, В. И. О периодических решениях уравнения Риккати / В. И. Мироненко // Проблемы физики, математики и техники. – 2015. – № 2 (23). – С. 62–64.Mironenko V. I. On periodic solutions of Riccati equations. Problemy Fiziki, Matematiki i Tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2015, no. 2 (23), pp. 62–64 (in Russian).Левитан, Б. М. Почти периодические функции / Б. М. Левитан. – М., 1953. – 396 с.Levitan B. M. Almost periodic functions. Moscow, 1953. 396 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.