danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2023-67-4-271-278dan-1137Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSМетрическая теория диофантовых приближений и асимптотические оценки для количества многочленов с заданными дискриминантами, делящимися на большую степень простого числаMetric theory of diophantine approximation and asymptotic estimates for the number of polynomials with given discriminants divisible by a large power of a prime numberБерникВ. И.BernikV. I.

Берник Василий Иванович – доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Bernik Vasiliy I. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

bernik.vasili@mail.ruВасильевД. В.VasilyevD. V.

Васильев Денис Владимирович – кандидат физико-математических наук

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Vasilyev Denis V. – Ph. D. (Physics and Mathematics)

11, Surganov Str., 220072, Minsk

vasilyev@im.bas-net.byКалошаН. И.KaloshaN. I.

Калоша Николай Иванович – кандидат физико-математических наук

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Kalosha Nikolay I. – Ph. D. (Physics and Mathematics)

11, Surganov Str., 220072, Minsk

kalosha@im.bas-net.byПантелееваЖ. И.PanteleevaZh. I.

Пантелеева Жанна Ивановна – аспирант

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Panteleeva Zhanna I. – Postgraduate Student

11, Surganov Str., 220072, Minsk

janna-85@list.ruИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202301092023674271278Copyright © Берник В.И., Васильев Д.В., Калоша Н.И., Пантелеева Ж.И., 20232023Берник В.И., Васильев Д.В., Калоша Н.И., Пантелеева Ж.И.Bernik V.I., Vasilyev D.V., Kalosha N.I., Panteleeva Z.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1137

Дискриминанты многочленов характеризуют распределение корней полиномов на комплексной плоскости. В последние годы для целочисленных многочленов найдены точные оценки для количества многочленов заданной степени и высоты. Метод получения оценок основан на теоремах Минковского в геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближений. Предложен новый метод, позволяющий получать оценки сверху для количества многочленов с ограниченными дискриминантами в архимедовой и неархимедовой метриках. В методе обобщены идеи Х. Давенпорта, Б. Фолькмана и В. Спринджука, позволившие им получить существенные продвижения при решении проблемы Малера.

Discriminants of polynomials characterize the distribution of roots of polynomials in the complex plane. In recent years, for integer polynomials, exact lower-bound estimates have been obtained for the number of polynomials of a given degree and height. The method of obtaining these estimates is based on Minkowski’s theorems in the geometry of numbers and the metric theory of Diophantine approximation. A new method is proposed and allows one to obtain upperbound estimates for the number of polynomials with bounded discriminants in Archimedean and non-Archimedean metrics. The method generalizes the ideas of H. Davenport, B. Volkman, and V. Sprindzuk that allowed them to obtain significant advances in solving Mahler’s problem.

дискриминанты целочисленных многочленовдиофантовы приближениямера Лебегастепень и высота алгебраического числапроблема Малераdiscriminants of integer polynomialsdiophantine approximationLebesgue measuredegree and height of an algebraic numberMahler’s problemReferencesСпринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск, 1967. – 181 c.Sprindzhuk V. G. Mahler’s problem in metric number theory. Minsk, 1967. 181 p. (in Russian).Metric Diophantine approximation: the Khintchine–Groshev theorem for nondegenerate manifolds / V. V. Beresnevich [et al.] // Mosc. Math. J. – 2002. – Vol. 2, N 2. – P. 203–225. https://doi.org/10.17323/1609-4514-2002-2-2-203-225Beresnevich V. V., Bernik V. I., Kleinbock D. Y., Margulis G. A. Metric Diophantine approximation: the Khintchine– Groshev theorem for nondegenerate manifolds. Moscow Mathematical Journal, 2002, vol. 2, no. 2, pp. 203–225. https://doi.org/10.17323/1609-4514-2002-2-2-203-225Бударина, Н. В. Метрическая теория совместных диофантовых приближений в klm   × × p / Н. В. Бударина // Чебышевский сб. – 2011. – Т. 12, № 1. – С. 17–50.Budarina N. V. Metric theory of joint diophantine approximations in klm   × × p . Chebyshevskii sbornik = Chebyshev collection, 2011, vol. 12, no. 1, pp. 17–50 (in Russian).Kleinbock, D. Y. Flows on Homogeneous Spaces and Diophantine Approximation on Manifolds / D. Y. Kleinbock, G. A. Margulis // Annals of Mathematics. – 1998. – Vol. 148, N 1. – P. 339–360. https://doi.org/10.2307/120997Kleinbock D. Y., Margulis G. A. Flows on Homogeneous Spaces and Diophantine Approximation on Manifolds. Annals of Mathematics, 1998, vol. 148, no. 1, pp. 339–360. https://doi.org/10.2307/120997Берник, В. И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов / В. И. Берник // Изв. АН СССР, сер. математ. – 1980. – Т. 44, № 1. – С. 24–45.Bernik V. I. A Metric theorem on the simultaneous approximation of a zero by the values of integral polynomials. Mathematics of the USSR – Izvestiya, 1981, vol. 16, no. 1, pp. 21–40. https://doi.org/10.1070/im1981v016n01abeh001292Спринджук, В. Г. Достижения и проблемы теории диофантовых приближений / В. Г. Спринджук // Успехи мат. наук. – 1980. – Т. 35, № 4. – С. 3–68.Sprindzhuk V. G. Achievements and problems in diophantine approximation theory. Russian Mathematical Surveys, 1980, vol. 35, no. 4, pp. 1–80. https://doi.org/10.1070/rm1980v035n04abeh001861Вклад Йонаса Кубилюса в метрическую теорию диофантовых приближений зависимых переменных / В. В. Бересневич [и др.] // Журн. БГУ. Математика. Информатика. – 2021. – № 3. – С. 34–50.Beresnevich V. V., Bernik V. I., Götze F., Zasimovich E. V., Kalosha N. I. Contribution of Jonas Kubilius to the metric theory of Diophantine approximation of dependent variables. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2021, no. 3, pp. 34–50 (in Russian).Khintchine, A. Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen / A. Khintchine // Mathematische Annalen. – 1924. – Vol. 92, N 1–2. – P. 115–125. https://doi.org/10.1007/bf01448437Khintchine A. Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. Mathematische Annalen, 1924, vol. 92, no. 1–2, pp. 115–125 (in German). https://doi.org/10.1007/bf01448437Bernik, V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials / V. I. Bernik // Acta Arith. – 1989. – Vol. 53, N 1. – P. 17–28.Bernik V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials. Acta Arithmetica, 1989, vol. 53, no. 1, pp. 17–28.Beresnevich, V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers / V. Beresnevich // Acta Arith. – 1999. – Vol. 90, N 2. – P. 97–112. https://doi.org/10.4064/aa-90-2-97-112Beresnevich V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers. Acta Arithmetica, 1999, vol. 90, no. 2, pp. 97–112. https://doi.org/10.4064/aa-90-2-97-112Берник, В. И. Теорема Хинчиновского типа для целочисленных полиномов от комплексной переменной / В. И. Берник, Д.В. Васильев // Тр. Ин-та математики. – 1999. – № 3. – С. 10–20.Bernik V. I., Vasiliev D. V. A Hinchin type theorem for integer polynomials in a complex variable. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 1999, no. 3, pp. 10–20 (in Russian).Beresnevich, V. V. On approximation of p-adic numbers by p-adic algebraic numbers / V. V. Beresnevich, V. I. Bernik, E. I. Kovalevskaya // J. Number Theory. – 2005. – Vol. 111, N 1. – P. 33–56. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2004.09.007Beresnevich V. V., Bernik V. I., Kovalevskaya E. I. On approximation of p-adic numbers by p-adic algebraic numbers. Journal of Number Theory, 2005, vol. 111, no. 1, pp. 33–56. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2004.09.007Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.Bernik V. I. Application of Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximation. Acta Arithmatica, 1983, vol. 42, no. 3, pp. 219–253 (in Russian).Берник, В. И. Приближение нуля значениями целочисленных полиномов в пространстве    × × p / В. И. Берник, Н. И. Калоша // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. физ.-мат. навук. – 2004. – № 1. – С. 121–123.Bernik V. I., Kalosha N. I. Approximations of zero by the values of integer polynomials in space    × × p . Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2004, no. 1, pp. 121–123 (in Russian).Bernik, V. I. Metric Diophantine approximation on manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson // Cambridge Tracts in Mathematics. – 1999. – N 137. – 172 p. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991Bernik V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine Approximation on Manifolds. Cambridge Tracts in Mathematics, 1999, no. 137. 172 p. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991

The authors declare that there are no conflicts of interest present.