danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2023-67-359-365dan-1148Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО методе Бернулли–Эйлера–Лагранжа–Эйткена вычисления корней полиномовOn the Bernoulli–Euler–Lagrange–Aitken numerical method for roots of polynomialsЛебедевА. В.LebedevA. V.

Андрей Владимирович Лебедев, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой

220050

пр. Независимости, 4

Минск

Andrei V. Lebedev, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department

220050

4, Nezavisimosti Ave.

Minsk

lebedev@bsu.byТрубниковЮ. В.TrubnikovYu. V.

Юрий Валентинович Трубников, д-р физ.-мат. наук, профессор

210038

пр. Московский, 33

Витебск

Yurii V. Trubnikov, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

210038

33, Moskovskiy Ave.

Vitebsk

yurii_trubnikov@mail.ruЧернявскийМ. М.ChernyavskyM. M.

Михаил Михайлович Чернявский, преподаватель

210038

пр. Московский, 33

Витебск

Mikhail M. Chernyavsky, Lecturer

210038

33, Moskovskiy Ave.

Vitebsk

misha360ff@mail.ruБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityВитебский государственный университет имени П. М. МашероваVitebsk State University named after P. M. Masherov202330102023675359365Copyright © Лебедев А.В., Трубников Ю.В., Чернявский М.М., 20232023Лебедев А.В., Трубников Ю.В., Чернявский М.М.Lebedev A.V., Trubnikov Y.V., Chernyavsky M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1148

   Развит метод Эйлера–Лагранжа и вычислены все корни произвольного полинома P(z) с комплексными коэффициентами на основе подсчета пределов отношений определителей (как и в методах Бернулли–Эйткена–Никипорца), построенных по коэффициентам разложений в ряды Тейлора и Лорана функции P′(z) / P(z).

   The article presents a development of the Euler–Lagrange method for calculation of all roots of an arbitrary polynomial P(z) with complex coefficients based on the calculation of the limits of ratios of determinants (as in the Bernoulli–Aitken–Nikiporets methods) built by means of the Taylor and Laurent series coefficients for the function P′(z) / P(z).

корень полиномаряд Тейлораряд Лоранаопределитель Адамараопределитель Вандермондаroot of a polynomialTaylor seriesLaurent seriesHadamard determinantVandermonde determinantReferencesBernoulli, D. Observationes de serbus recurrentibus / D. Bernoulli // Comment. acad. sc. Petrop. – 1732 (1728). – N 3. – P. 85–100.Bernoulli D. Observationes de serbus recurrentibus. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1732 (1728), no. 3, pp. 85–100.McNamee, J. M. Numerical methods for roots of polynomials, part II / J. M. McNamee, V. Y. Pan. – Boston; Amsterdam; Oxford, 2013. – 741 p.McNamee J. M., Pan V. Y. Numerical methods for roots of polynomials, part II. Boston, Amsterdam, Oxford, 2013. 741 p.Эйлер, Л. Введение в анализ бесконечных: в 2 т. / Л. Эйлер; пер. с лат. Е. Л. Пацановского. – 2-е изд. – М., 1961. – Т. 1. – 315 с.Euler L. Introduction to the analysis of infinite (in two volumes). Vol. 1. Moscow, 1961. 315 p. (in Russian).Lagrange, J. L. Sur la Méthode d’Approximation tirée des séries récurrentes (1798) / J. L. Lagrange // Traitј de la résolution des équations numériques de tous les degrés. – Paris, 1826. – Vol. 6. – P. 130–137.Lagrange J. L. Sur la Méthode d’Approximation tirée des séries récurrentes (1798). Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés. Paris, 1826, vol. 6, pp. 130–137.Aitken, A. C. On Bernulli’s Numerical Solution of Algebraic Equations / A. C. Aitken // Proc. R. Soc. Edinburgh. – 1927. – Vol. 46. – P. 289–305. doi: 10.1017/s0370164600022070Aitken A. C. On Bernulli’s Numerical Solution of Algebraic Equations. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 1927, vol. 46, pp. 289–305. doi: 10.1017/s0370164600022070Шмойлов, В. И. Некоторые применения алгоритма суммирования расходящихся непрерывных дробей / В. И. Шмойлов, Д. И. Савченко // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. – 2013. – № 2. – С. 258–276.Shmoylov V. I., Savchenko D. I. Some applications of the summation algorithm of continued fractions. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennoro universiteta. Seriya Fizika. Matematika = Prоceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2013, no. 2, pp. 258–276 (in Russian).Шмойлов, В. И. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями Никипорца / В. И. Шмойлов, Г. А. Кириченко // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2014. – Т. 14, № 4-1. – С. 428–439. doi: 10.18500/1816-9791-2014-14-4-428-439Shmoylov V. I., Kirichenko G. A. Solution of Algebraic Equations by Continuous Fractions of Nikiportsa. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika = Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2014, vol. 14, no. 4-1, pp. 428–439 (in Russian). doi: 10.18500/1816-9791-2014-14-4-428-439Шмойлов, В. И. Непрерывные дроби и r / φ-алгоритм / В. И. Шмойлов. – Таганрог, 2012. – 608 с.Shmoylov V. I. Continued Fractions and the r / φ-algorithm. Taganrog, 2012. 608 p. (in Russian).Трубников, Ю. В. Расходящиеся степенные ряды и формулы приближенного аналитического нахождения решений алгебраических уравнений / Ю. В. Трубников, М. М. Чернявский // Весн. Віцебскага дзярж. ун-та. – 2018. – № 4 (101). – С. 5–17.Trubnikov Yu. V., Chernyavsky M. M. Divergent Power Series and Formulas of the Approached Analytical Solution of Algebraic Equations. Vesnіk Vіtsebskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta = Bulletin of Vitebsk State University, 2018, no. 4 (101), pp. 5–17 (in Russian).Чернявский, М. М. Модификация формул Эйткена и алгоритмы аналитического нахождения кратных корней полиномов / М. М. Чернявский, Ю. В. Трубников // Весн. Віцебскага дзярж. ун-та. – 2021. – № 1 (110). – С. 13–25.Chernyavsky M. M., Trubnikov Yu. V. Modification of Aitken’s formulas and algorithms for analytical finding of multiple roots of polynomials. Vesnіk Vіtsebskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta = Bulletin of Vitebsk State University, 2021, no. 1 (110), pp. 13–25 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.