danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2023-67-6-454-459dan-1160Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSБезусловно монотонная и глобально устойчивая разностная схема для уравнения ФишераUnconditionally monotone and globally stable difference schemes for the Fisher equationМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник.

Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Matus Piotr P. – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

piotr.p.matus@gmail.comПылакД.PylakD.

Пылак Дорота – адъюнкт.

Ал. Raclawickie, 14, 20-950, Люблин

Pylak Dorota – Assistant Professor.

8, Al. Raclawickie, 20-950, Lublin

dorotab@kul.plИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Католический университет им. Иоанна Павла II г. ЛюблинаInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Institute of Mathematics and Computer Science the John Paul II Catholic University of LublinКатолический университет им. Иоанна Павла II г. ЛюблинаInstitute of Mathematics and Computer Science the John Paul II Catholic University of Lublin202305012024676454459Copyright © Матус П.П., Пылак Д., 20242024Матус П.П., Пылак Д.Matus P.P., Pylak D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1160

В работе строятся и исследуются безусловно монотонные и глобально устойчивые разностные схемы для уравнения Фишера. Показано, что при определенном выборе входных данных задачи эти схемы наследуют главное свойство устойчивого решения дифференциальной задачи  0 ≤ u(x, t) ≤ 1, (x, t) ∈ QT = {(x, t) : 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t < +∞}Доказана безусловная монотонность рассматриваемых разностных схем и получена априорная оценка разностного решения в равномерной норме. Устойчивое поведение разностного решения в нелинейном случае имеет место при несколько более жестких ограничениях на входные данные: 0,5 ≤ u0 (x), µ1(t), µ2(t) ≤ 1.

In this paper, we construct and study unconditionally monotone and globally stable difference schemes for the Fisher equation. It has been shown that constructed schemes inherit the stability property of the exact solution: 0 ≤ u(x, t) ≤ 1, (x, t) ∈ QT = {(x, t) : 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t < +∞} for a given input data of the problem. The unconditional monotonicity of the difference schemes is proved and the a priori estimate is obtained in the uniform norm for the difference solution. The stable behavior of the difference solution in the nonlinear case takes place under slightly more stringent constraints on the input data: 0,5 ≤ u0 (x), µ1(t), µ2(t) ≤ 1.

безусловная монотонностьглобальная устойчивостьразностная схемауравнение Фишераunconditional monotonicityglobal stabilitydifference schemeFisher equationReferencesКолмогоров, А. Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме / А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов // Бюллетень МГУ. Секция А. – 1937. – Т. 1, № 6. – С. 1–25.Kolmogorov A. N., Petrovsky I. G., Piskunov N. S. Study of the diffusion equation with increase in the amoun of substance, and its application to a biological problem. Byulleten’ Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta. Sektsiya A [Bulletin of the Moscow State University, Section A], 1937, vol. 1, no. 6, pp. 1–25 (in Russian).Fisher, R. A. The Wave of Advance of Advantageous Genes / R. A. Fisher // Annals of Eugenics. – 1937. – N 7. – P. 355–369. https://doi.org/10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.xFisher R. A. The wave of advance of advantageous genes. Annals of Eugenics, 1937, no. 7, pp. 355–369. https://doi.org/10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.xMurray, J. D. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition / J. D. Murray. – Berlin, 2001. – 551 p.Murray J. D. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition. Berlin, 2001. 551 p.Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М., 1983. – 616 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. Moscow, 1983. 616 p. (in Russian).Matus, P. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations / Piotr Matus, Le Minh Hieu, Lubin G. Vulkov // J. Comput. Appl. Math. – 2017. – Vol. 310. – P. 186–199. https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.006Matus P., Le Minh Hieu, Vulkov L. G. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, vol. 310, pp. 186–199. https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.006Matus, P. Stability and monotonicity of difference schemes for nonlinear scalar conservation laws and multidimensional quasi-linear parabolic equations / P. Matus, S. Lemeshevsky // Comp. Method Appl. Math. – 2009. – Vol. 9, N 3. – P. 253–280. https://doi.org/10.2478/cmam-2009-0016Matus P., Lemeshevsky S. Stability and monotonicity of difference schemes for nonlinear scalar conservation laws and multidimensional quasi-linear parabolic equations. Computational Methods in Applied Mathematics, 2009, vol. 9, no. 3, pp. 253–280. https://doi.org/10.2478/cmam-2009-0016Lemeshevsky, S. Exact finite-difference schemes / S. Lemeshevsky, P. Matus, D. Poliakov. – De Gruyter, 2016. – 233 p. https://doi.org/10.1515/9783110491326Lemeshevsky S., Matus P., Poliakov D. Exact finite-difference schemes. De Gruyter, 2016. 233 p. https://doi.org/10.1515/9783110491326Samarskii, A. A. Difference schemes with operator factors / A. A. Samarskii, P. P. Matus, P. N. Vabishchevich. – Dordrecht, 2002. – 384 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. Dordrecht, 2002. 384 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3

The authors declare that there are no conflicts of interest present.