danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14dan-1169Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКонсервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка для квазилинейных уравненийConservative compact and monotone fourth order difference schemes for quasilinear equationsМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник.

Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Matus Piotr P. – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

piotr.p.matus@gmail.comГромыкоГ. Ф.GromykoG. Ph.

Громыко Галина Феодосьевна – канд. физ.-мат. наук, заведующий отделом.

Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Gromyko Galina F. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Head of the Department.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

grom@im.bas-net.byУтебаевБ. Д.UtebaevB. D.

Утебаев Бахадыр Даулетбай улы – канд. физ.-мат. наук, доцент.

Ул. Ч. Абдирова, 1, 230112, Нукус

Utebaev Bakhadir Dauletbay uli – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor.

1, Ch. Abdirov Str., 230112, Nukus

bakhadir1992@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusКаракалпакский государственный университет имени Бердаха; Институт математики имени В.И. Романовского Академии наук Республики УзбекистанKarakalpak State University named after Berdakh; Institute of Mathematics named after V. I. Romanovsky of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan202404032024681714Copyright © Матус П.П., Громыко Г.Ф., Утебаев Б.Д., 20242024Матус П.П., Громыко Г.Ф., Утебаев Б.Д.Matus P.P., Gromyko G.P., Utebaev B.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1169

Впервые строятся и исследуются компактные и монотонные разностные схемы 4-го порядка точности, сохраняющие свойство консервативности (дивергентности), для квазилинейного стационарного уравнения реакции–диффузии. Для линеаризации нелинейной разностной схемы используется итерационный метод типа Ньютона–Зейделя, также сохраняющий идею консервативности и монотонности (s + 1)-й итерации. Основная идея реализации предложенной разностной схемы на трехточечном шаблоне методом прогонки основана на возможности распараллеливания вычислительного процесса. Сначала решение находится в четных узлах, а затем в нечетных. При этом все уравнения остаются трехточечными относительно неизвестной функции. Возникающие проблемы нахождения дополнительных граничных условий в приграничных узлах решаются при помощи интерполяционного многочлена Ньютона 4-го порядка точности. Приведенные результаты вычислительного эксперимента иллюстрируют эффективность предложенного алгоритма. Указывается также возможность обобщения данного метода на более сложные задачи.

In this work, for the first time, compact and monotone difference schemes of the 4th order of accuracy are constructed and studied, preserving the property of conservation (divergence), for a quasilinear stationary reaction-diffusion equation. To linearize the nonlinear difference scheme, an iterative method of the Newton-Seidel type is used, which also preserves the idea of conservation and monotonicity of the iteration. The main idea of implementing the proposed difference scheme on a three-point stencil of the sweep method is based on the possibility of parallelizing the computational process. First, the solution is at the even nodes, and then at the odd ones. In this case, all equations remain three-point with respect to the unknown function. The arising problems of finding additional boundary conditions at the boundary nodes are solved using the Newton interpolation polynomial of the 4th order of accuracy. The presented results of the computational experiment illustrate the effectiveness of the proposed algorithm. The possibility of generalizing this method to more difficult problems is also indicated.

компактная разностная схемаконсервативная разностная схемауравнение реакции–диффузииcompact finite difference schemeconservative difference schemereaction-diffusion equationReferencesМатус, П. П. Компактные разностные схемы на трехточечном шаблоне для гиперболических уравнений второго порядка / П. П. Матус, Хоанг Тхи Киеу Ань // Дифференц. уравнения. – 2021. – Т. 57, № 7. – С. 963–975. https://doi.org/10.31857/s0374064121070098Matus P. P., Hoang Thi Kieu Anh. Compact difference schemes on a three-point stencil for second-order hyperbolic equations. Differential Equations, 2021, vol. 57, no. 7, pp. 934–946. https://doi.org/10.1134/s0012266121070090Матус, П. П. Компактные и монотонные разностные схемы для параболических уравнений / П. П. Матус, Б. Д. Утебаев // Математическое моделирование. – 2021. – Т. 33, № 4. – С. 60–78. https://doi.org/10.20948/mm-2021-04-04Matus P. P., Utebaev B. D. Compact and monotone difference schemes for parabolic equations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2021, vol. 13, pp. 1038–1048. https://doi.org/10.1134/s2070048221060132Матус, П. П. Компактные и монотонные разностные схемы для обобщенного уравнения Фишера / П. П. Матус, Б. Д. Утебаев // Дифференц. уравнения. – 2022. – Т. 58, № 7. – С. 947–961.Matus P. P., Utebaev B. D. Compact and monotone difference schemes for the generalized Fisher equation. Differential Equations, 2022, vol. 58, no. 7, pp. 937–951. https://doi.org/10.1134/s0012266122070072Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1963. – Т. 3, № 5. – С. 812–840.Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107–1146. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6Тихонов, А. Н. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 124, № 3. – С. 1529–1532.Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Convergence of the difference schemes in the class of discontinuous coefficients. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1959, vol. 124, no. 5, pp. 1529–1532 (in Russian).Тихонов, А. Н. Об однородных разностных схемах / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1961. – Т. 1, № 1. – С. 5–63.Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Homogeneous difference schemes. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1962, vol. 1, no. 1, pp. 5–67. https://doi.org/10.1016/0041-5553(62)90005-8Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М., 1983. – 616 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. Moscow, 1983. 616 p. (in Russian).Samarskii, A. A. Difference schemes with operator factors / A. A. Samarskii, P. P. Matus, P. N. Vabishchevich. – Dordrecht, 2002. – 384 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. Dordrecht, 2002. 384 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Самарский, А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. – М., 1976. – 352 с.Samarskii A. A., Andreev V. B. Finite difference methods for elliptic equation. Moscow, 1976. 352 p. (in Russian).Матус, П. П. О согласованных двусторонних оценках решений квазилинейных параболических уравнений и их аппроксимаций / П. П. Матус, Д. Б. Поляков // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 7. – С. 991–1000. https://doi.org/10.1134/s0374064117070123Matus P. P., Poliakov D. B. Consistent two-sided estimates for the solutions of quasilinear parabolic equations and their approximations. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 7, pp. 964–973. https://doi.org/10.1134/s0012266117070126Киреев, В. И. Численные методы в примерах и задачах / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. – М., 2008. – 480 с.Kireev V. I., Panteleev A. V. Numerical methods in examples and problems. Moscow, 2008. 480 p. (in Russian).Tingchun, Wang. Convergence of an eighth-order compact difference scheme for the nonlinear Schrodinger equation / Wang Tingchun // Advances in Numerical Analysis. – 2012. – Vol. 2012. – Art. 913429. https://doi.org/10.1155/2012/913429Tingchun Wang. Convergence of an eighth-order compact difference scheme for the nonlinear Schrodinger equation. Advances in Numerical Analysis, 2012, vol. 2012, art. 913429. https://doi.org/10.1155/2012/913429

The authors declare that there are no conflicts of interest present.