danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2024-68-2-95-104dan-1179Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО приближениях одного сингулярного интеграла на отрезке рациональными интегральными операторами Фурье–ЧебышёваOn approximations of a singular integral on a segment by Fourier–Chebyshevʼs rational integral operatorshttps://orcid.org/0000-0001-7835-0500ПоцейкоП. Г.PotsejkoP. G.

Поцейко Павел Геннадьевич – канд. физ.-мат. наук, доцент

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Pavel G. Patseika– Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

pahamatby@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-1265-1965РовбаЕ. А.RovbaE. A.

Ровба Евгений Алексеевич – д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Yevgeniy A. Rovba– D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

rovba.ea@gmail.comГродненский государственный университет имени Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno20242904202468295104Copyright © Поцейко П.Г., Ровба Е.А., 20242024Поцейко П.Г., Ровба Е.А.Potsejko P.G., Rovba E.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1179

Исследуются рациональные аппроксимации на отрезке [–1, 1] сингулярных интегралов вида , интегральными операторами, в некотором смысле связанными между собой. Первый из них – рациональный интегральный оператор Фурье–Чебышёва, ассоциированный с системой рациональных функций Чебышёва–Маркова. Он является естественным обобщением частичных сумм полиномиального ряда Фурье–Чебышёва. Второй оператор является образом первого при преобразовании исследуемым сингулярным интегралом. Для каждого из операторов установлено интегральное представление приближений. Изучаются аппроксимации на отрезке [–1, 1] сингулярного интеграла с плотностью, имеющей степенную особенность. Для каждого из операторов рассматривается случай произвольного фиксированного количества геометрически различных полюсов и случай, когда полюсы представляют собой некоторые модификации «ньюменовских» параметров. Установлено, что классы изучаемых сингулярных интегралов отражают особенности рациональной аппроксимации рассматриваемыми интегральными операторами в том смысле, что при специальном выборе параметров аппроксимирующих функций порядки их приближений оказываются выше соответствующих полиномиальных аналогов.

 

Rational approximations on a segment [–1, 1] of singular integrals of the form , by integral operators, in a sense related to each other are studied. The first of them is Fourier–Chebyshev’s rational integral operator associated with the system of Chebyshev–Markov’s rational functions. It is a natural generalization of partial sums of Fourier–Chebyshev’s polynomial series. The second operator is the image of the first one when transformed by a singular integral under study. An integral representation of approximations is established for each of the operators. Approximations on the segment [–1, 1] of a singular integral with a density having a power-law singularity are studied. For each of the operators, we consider the case of an arbitrary fixed number of geometrically different poles and the case when the poles represent some modifications of the “Newman” parameters. It is established that the classes of the studied singular integrals reflect the rational approximation features by the considered integral operators in the sense that with a special choice of parameters of approximating functions, the orders of their approximations turn out to be higher than the corresponding polynomial analogues. 

сингулярный интегралрациональный интегральный оператор Фурье–Чебышёваравномерная сходимостьасимптотические оценкиточные константы«ньюменовские» параметрыsingular integralrational Fourier–Chebyshev integral operatoruniform convergenceasymptotic estimatesexact constants“Newman” parametersReferencesГахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М., 1958. – 543 с.Gakhov F. D. Boundary problems. Moscow, 1958. 543 p. (in Russian).Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд. / Н. И. Мусхелишвили. – М., 1968. – 513 с.Muskhelishvili N. I. Singular integral equations, 3d ed. Moscow, 1968. 513 p. (in Russian).Erdogan, F. On the numerical solution of singular integral equations / F. Erdogan, G. D. Gupta // Quarterly of Applied Mathematics. – 1972. – Vol. 29, N 4. – P. 525–534. https://doi.org/10.1090/qam/408277Erdogan F., Gupta G. D. On the numerical solution of singular integral equations. Quarterly of Applied Mathematics, 1972, vol. 29, no. 4, pp. 525–534. https://doi.org/10.1090/qam/408277Elliott, D. On the convergence of a quadrature rule for evaluating certain Cauchy principal value integrals / D. Elliott, D. Paget // Numerische Mathematik. – 1974. – Vol. 23, N 4. – P. 311–319. https://doi.org/10.1007/bf01438258Elliott D., Paget D. F. On the convergence of a quadrature rule for evaluating certain Cauchy principal value integrals. Numerische Mathematik, 1974, vol. 23, no. 4, pp. 311–319. https://doi.org/10.1007/bf01438258Шешко, М. А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла / М. А. Шешко // Изв. высших учебных заведений. Математика. – 1976. – № 12. – С. 108–118.Sheshko M. A. On the convergence of quadrature processes for a singular integral. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika = Russian Mathematics, 1976, vol. 12, pp. 108–118 (in Russian).Саакян, А. В. Квадратурные формулы типа Гаусса для сингулярных интегралов / А. В. Саакян // Проблемы механики тонких деформируемых тел: сб., посвящ. 80-летию акад. С. А. Амбарцумяна. – Ереван, 2002. – C. 259–265.Saakyan A. V. Gauss-type quadrature formulas for singular integrals. Problemy mekhaniki tonkikh deformiruemykh tel: sbornik, posvyashchennyi 80-letiyu akademika S. A. Ambartsumyana [Problems of mechanics of thin deformable bodies: collection dedicated to the 80th anniversary of Academician S. A. Ambartsumyan]. Erevan, 2002, pp. 259–265 (in Russian).Хубежты, Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Коши / Ш. С. Хубежты // Владикавказский мат. журн. – 2008. – Т. 10, № 4. – С. 61–75.Khubezhty Sh. S. Quadrature formulas for singular integrals with Cauchy kernel. Vladikavkazskii matematicheskii zhurnal = Vladikavkaz Mathematical Journal, 2008, vol. 10, no. 4, pp. 61–75 (in Russian).Хубежты, Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов, имеющих почти гауссовскую степень точности / Ш. С. Хубежты, А. О. Цуцаев // Изв. вузов. Северо-Кавказский рег. Естеств. науки. – 2015. – № 2. – С. 53–57.Khubezhty Sh. S., Tsutsaev A. O. Quadrature formulas for singular integrals with nearly Gaussian degree of accuracy. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki = Bulletin of Higher Education Institutes North Caucasus Region. Natural Sciences, 2015, no. 2, pp. 53–57 (in Russian).Русак, В. Н. Равномерная рациональная аппроксимация сингулярных интегралов / В. Н. Русак // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 1993. – № 2. – С. 22–26.Rusak V. N. Uniform rational approximation of singular integrals. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 1993, no. 2, pp. 22–26 (in Russian).Бокша, А. Н. Приближение сингулярных интегралов рациональными функциями в равномерной метрике / А. Н. Бокша // Вестн. Бел. гос. ун-та. Сер. 1: Физика. Математика. Информатика. – 1997. – № 3. – С. 68–71.Boksha A. N. Approximation of singular integrals by rational functions in the uniform metric. Vestnik Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1: Fizika, Matematika, Informatika [Bulletin of the Belarusian State University. Series 1: Physics, Mathematics, Computer Science], 1997, no. 3, pp. 68–71 (in Russian).Русак, В. Н. Рациональная аппроксимация сингулярных интегралов с дифференцируемой плотностью / В. Н. Русак, А. Х. Уазис // Вес. БДПУ. Сер. 3. Фізіка. Матэматыка. Інфарматыка. Біялогія. Геаграфія. – 2009. – № 1(59). – С. 8–11.Rusak V. N., Uazis A. Kh. Rational approximation of singular integrals with differentiable density. Vestsі BDPU. Seryya 3. Fіzіka. Matematyka. Іnfarmatyka. Bіyalogіya. Geagrafіya [Bulletin of BSPU. Series 3. Physics. Mathematics. Informatics. Biology. Geography], 2009, no. 1(59), pp. 8–11 (in Russian).Моторный, В. П. Приближение некоторых классов сингулярных интегралов алгебраическими многочленами / В. П. Моторный // Укр. мат. журн. – 2001. – Т. 53, № 3. – С. 331–345.Motornyi V. P. Approximation of Certain Classes of Singular Integrals by Algebraic Polynomials. Ukrainian Mathematical Journal, 2001, vol. 53, pp. 377–394. https://doi.org/10.1023/a:1012388120569Ровба, Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации / Е. А. Ровба // Докл. АН БССР. – 1979. – Т. 23, № 11. – С. 968–971.Rovba E. A. On one direct method in rational approximation. Doklady AN BSSR, 1979, vol. 23, no. 11, pp. 968–971 (in Russian).Поцейко, П. Г. Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье–Чебышёва и аппроксимации функций Маркова / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба, К. А. Смотрицкий // Журн. Белорусского гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2020. – № 2. – С. 6–27 (на англ. яз.). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27.Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier–Chebyshev type and approximation of Markov functions. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2020, no. 2, pp. 6–27. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27Поцейко, П. Г. Приближения на классах интегралов Пуассона рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышёва / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Сибир. мат. журн. – 2021. – Т. 62, № 2. – С. 362–386.Potseiko P. G., Rovba E. A. Approximations on classes of poisson integrals by Fourier–Chebyshev rational integral operators. Siberian Mathematical Journal, 2021, vol. 62, no. 2, pp. 292–312. https://doi.org/10.1134/s0037446621020099Лунгу, К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К. Н. Лунгу // Математический сб. – 1971. – Т. 86 (128), № 2 (10). – С. 314–324.Lungu K. N. On the best approximations of possible functions with a fixed numerical pole. Mathematics of the USSRSbornik, 1971, vol. 86, no. 2, pp. 314–324. https://doi.org/10.1070/sm1971v015n02abeh001547Лунгу, К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К. Н. Лунгу // Сибир. мат. журн. – 1984. – Т. 15, № 2. – С. 151–160.Lungu K. N. Best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Siberian Mathematical Journal, 1984, vol. 25, pp. 289–296. https://doi.org/10.1007/bf00971467Newman, D. I. Rational approximation to |x| / D. I. Newman // Michigan Mathematical Journal. – 1964. – Vol. 11, N 1. – P. 11–14. https://doi.org/10.1307/mmj/1028999029Newman D. I. Rational approximation to |x|. Michigan Mathematical Journal, 1964, vol. 11, no. 1, pp. 11–14. https://doi.org/10.1307/mmj/1028999029Поцейко, П. Г. Об оценках равномерных приближений рациональными интегральными операторами Фурье– Чебышёва при определенном выборе полюсов / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Математические заметки. – 2023. – Т. 113, вып. 6. – С. 876–894. https://doi.org/10.4213/mzm13621Potseiko P. G., Rovba Y. A. On Estimates of Uniform Approximations by Rational Fourier–Chebyshev Integral Operators for a Certain Choice of Poles. Mathematical Notes, 2023, vol. 113, pp. 815–830. https://doi.org/10.1134/s0001434623050231Поцейко, П. Г. Сопряженный рациональный оператор Фурье–Чебышёва и его аппроксимационные свойства / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Изв. вузов. Математика. – 2022. – № 3. – С. 44–60.Potseiko P. G., Rovba Ye. A. Conjugate Rational Fourier–Chebyshev Operator and its Approximation Properties. Russian Mathematics, 2022, vol. 66, pp. 35–49. https://doi.org/10.3103/s1066369x22030094

The authors declare that there are no conflicts of interest present.