danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2024-68-3-188-195dan-1190Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб одном усилении теоремы Массеры о существовании периодических решений линейных дифференциальных периодических системAbout one strengthening of the Massera’s existence theorem of periodic solutions of linear differential periodic systemsДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – д-р физ.- мат. наук, профессор, гл. науч. Сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Demenchuk Aleksandr K. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

demenchuk@im.bas-net.byКонюхА. В.KonuhA. V.

Конюх Александр Владимирович – канд. физ.-мат. наук, доцент

пр. Партизанский, 26, 220070, Минск

Konuh Aleksandr V. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

26, Partizanski Ave., 220070, Minsk

al3128@gmail.comИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Science of BelarusБелорусский государственный экономический университетBelarusian State Economic University202408072024683188195Copyright © Деменчук А.К., Конюх А.В., 20242024Деменчук А.К., Конюх А.В.Demenchuk A.K., Konuh A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1190

Согласно теореме Массеры обыкновенная дифференциальная линейная неоднородная периодическая система имеет периодическое решение с периодом, совпадающим с периодом системы, если и только если эта система имеет ограниченное решение. В работе вводится класс L вектор-функций, названных растущими медленнее линейной функции, содержащий класс B ограниченных вектор-функций в качестве собственного подкласса. Доказано, что приведенная выше теорема Массеры останется верной, если в ее формулировке ограниченное решение заменить решением, растущим медленнее линейной функции. Показано, что множество B в метрическом пространстве (L, distc ), где distc – метрика равномерной сходимости вектор-функций на отрезках, имеет первую категорию по Бэру, т. е. почти все в смысле категории вектор-функции пространства (L, distc ) не являются ограниченными, что показывает существенность полученного усиления теоремы Массеры.

According to Massera’s theorem, an ordinary differential linear nonhomogeneous periodic system has a periodic solution with a period coinciding with that of the system if and only if this system has a bounded solution. We introduce the class L of vector functions called growing slower than a linear function. This class contains the class B of bounded vector functions in as its own subclass. It has been proved that Massera’s above-mentioned theorem will remain true if in its formulation a bounded solution is replaced by a slower growing solution than a linear function. It is shown that the set B in the metric space (L, distc ), where distc is the uniform convergence metric vector functions on intervals, has Baer’s first category, i. e. almost everything in the sense of the category of space vector functions (L, distc ) are not bounded. This fact shows the significance of the obtained strengthening of Massera’s theorem.

линейная периодическая системапериодические решениятеорема Массерыlinear periodic systemperiodic solutionMassera’s theoremReferencesЕругин, Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н. П. Еругин. – Минск, 1963. – 272 с.Erugin N. P. Linear ordinary differential systems with periodic and quasiperiodic coefficients. Minsk, 1963. 272 p. (in Russian).Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных систем / Л. Чезари. – М., 1964. – 478 с.Cesari L. Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. Springer Berlin, Heidelberg, 1959. 271 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-40368-6Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. – М., 1972. – 720 с.Yakubovich V. A., Starzhinsky V. M. Linear differential equations with periodic coefficients and their applications. Мoscow, 1972. 720 p. (in Russian).Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bol. de la Facultad de Ingenieria. – 1950. – Vol. 4, N 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre las soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Boletin de la Facultad de Ingenieria, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45.Деменчук, А. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управление / А. Деменчук. – Saarbrücken, 2012. – 186 с.Demenchuk A. Asynchronous oscillations in differential systems. Conditions of existence and control. Saarbrücken, 2012. 186 p. (in Russian).Massera, J. L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations / J. L. Massera // Duke Math. J. – 1950. – Vol. 17, N 4. – P. 457–475. https://doi.org/10.1215/s0012-7094-50-01741-8Massera J. L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations. Duke Mathematical Journal. 1950, vol. 17, no. 4, pp. 457–475. https://doi.org/10.1215/s0012-7094-50-01741-8Makay, G. On some possible extensions of Massera’s theorem / G. Makay // Electronic J. Qual. Theory Differ. Equ. – 1999. – N 16. – 8 p. https://doi.org/10.14232/ejqtde.1999.5.16Makay G. On some possible extensions of Massera’s theorem. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 1999, no. 16, 8 p. https://doi.org/10.14232/ejqtde.1999.5.16Murakami, S. Massera’s theorem for almost periodic solutions of functional differential equations / S. Murakami, Т. Naito, N. V. Minh // J. Math. Soc. Japan. – 2004. – Vol. 56, N 1. – P. 247–268. https://doi.org/10.2969/jmsj/1191418705Murakami S., Naito T., Minh N. V. Massera’s theorem for almost periodic solutions of functional differential equations. Journal of the Mathematical Society of Japan, 2004, vol. 56, no. 1, pp. 247–268. https://doi.org/10.2969/jmsj/1191418705Okada, Y. Massera type theorems in hyperfunctions with refleexive Banach values / Y. Okada // RIMS Kuokyuroku Bessatsu. – 2013. – Vol. B40. – P. 001–014.Okada Y. Massera type theorems in hyperfunctions with refleexive Banach values. RIMS Kuokyuroku Bessatsu, 2013, vol. B40, pp. 001–014.Kato, J. Bounded Solutions and Periodic Solutions to Linear Differential Equations in Banach Spaces / J. Kato, T. Naito, J. S. Shin // Vietnam J. of Math. – 2002. – Vol. 30. – P. 561–575.Kato J., Naito T., Shin J. S. Bounded Solutions and Periodic Solutions to Linear Differential Equations in Banach Spaces. Vietnam Journal of Mathematics, 2002, vol. 30, pp. 561–575.Fleury, M. Massera’s theorems for various types of equations with discontinuous solution / M. Fleury, J. G. Mesquita, A. Slavik // J. of Differ. Equ. – 2020. – Vol. 269, N 12. – P. 11667–11693. https://doi.org/10.1016/j.jde.2020.08.043Fleury M., Mesquita J. G., Slavik A. Massera’s theorems for various types of equations with discontinuous solution. Journal of Differential Equations, 2020, vol. 269, no. 12, pp. 11667–11693. https://doi.org/10.1016/j.jde.2020.08.043Sharma, R. R. An abstract measure differential equation / R. R. Sharma // Proc. Amer. Math. Soc. – 1972. – Vol. 32. – P. 503–510. https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1972-0291600-3Sharma R. R. An abstract measure differential equation. Proceedings of the American Mathematical Society, 1972, vol. 32, pp. 503–510. https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1972-0291600-3Yong, L. Massera type criterion for linear functional differential equations with advanced and delay / Li Yong, Lin Zhenghua, Li Zhaoxing // J. Math. Anal. Appl. – 1996. – Vol. 200, N 3. – P. 717–725. https://doi.org/10.1006/jmaa.1996.0235Li Yong, Lin Zhenghua, Li Zhaoxing. A Massera type criterion for linear functional differential equations with advance and delay. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, vol. 200, no. 3, pp. 717–725. https://doi.org/10.1006/jmaa.1996.0235Zubelevich, O. A note on theorem of Massera / O. Zubelevich // Regul. Chaotic Dyn. – 2006. – Vol. 11, N 4. – P. 475–481. https://doi.org/10.1070/rd2006v011n04abeh000365Zubelevich O. A note on theorem of Massera. Regular and Chaotic Dynamics, 2006, vol. 11, no. 4, pp. 475–481. https://doi.org/10.1070/rd2006v011n04abeh000365Игнатьев, А. O. О некоторых свойствах решений систем линейных разностных уравнений с периодическими правыми частями / А. O. Игнатьев // Дифференц. уравнения. – 2023. – Т. 59, № 4. – С. 494–500. https://doi.org/10.31857/S0374064123040064Ignat’ev A. O. On some properties of solutions of systems of linear difference equations with periodic right-hand sides. Differential Equations, 2023, vol. 59, pp. 502–509. https://doi.org/10.1134/s0012266123040067Mingarelli, A. B. A counter-example in the theory of almost periodic differential equations / A. B. Mingarelli, F. Q. Pu, L. Zheng // Rocky Mounth. J. Math. – 1995. – Vol. 25, N 1. – P. 437–440. https://doi.org/10.1216/rmjm/1181072293Mingarelli A. B., Pu F. Q., Zheng L. A counter-example in the theory of almost periodic differential equations. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1995, vol. 25, no. 1, pp. 437–440. https://doi.org/10.1216/rmjm/1181072293Александрян, Р. А. Общая топология / Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. – М., 1979. – 336 с.Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. General topology. Mosсow, 1979. 336 p. (in Russian).Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. – М., 1967. – 472 с.Demidovich B. P. Lectures on the mathematical theory of stability. Moscow, 1967. 472 p. (in Russian).Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – М., 1970. – 720 с.Hartman F. Ordinary differential equations. Мoscow, 1964. 478 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.