danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2024-68-4-282-287dan-1201Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSДифференцирование результантов и общие кратные корни полиномовDifferentiation of resultants and common multiple roots of polynomialsЛебедевА. В.LebedevA. V.

Лебедев Андрей Владимирович – д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой

пр. Независимости, 4, 220050, Минск

Lebedev Andrei V. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department

4, Nezavisimosti Ave., 220050, Minsk

lebedev@bsu.byТрубниковЮ. В.TrubnikovYu. V.

Трубников Юрий Валентинович – д-р физ.-мат. наук, профессор

пр. Московский, 33, 210038, Витебск

Trubnikov Yurii V. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

33, Moskovskiy Ave., 210038, Vitebsk

yurii_trubnikov@mail.ruЧернявскийМ. М.ChernyavskyM. M.

Чернявский Михаил Михайлович – ст. преподаватель

пр. Московский, 33, 210038, Витебск

Chernyavsky Mikhail M. – Senior Lecturer

33, Moskovskiy Ave., 210038, Vitebsk

misha360ff@mail.ruБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityВитебский государственный университет им. П. М. МашероваVitebsk State University named after P. M. Masherov202405092024684282287Copyright © Лебедев А.В., Трубников Ю.В., Чернявский М.М., 20242024Лебедев А.В., Трубников Ю.В., Чернявский М.М.Lebedev A.V., Trubnikov Y.V., Chernyavsky M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1201

Доказано, что при наличии у полиномов f и g общего корня w кратности s для f и кратности p для g разложение в ряд Тейлора для результанта R = R(f , g)(a , b) по переменным b (коэффициентам g) начинается со слагаемого порядка s, а разложение в ряд Тейлора для R = R(f , g)(a , b) по переменным a (коэффициентам f) начинается со слагаемого порядка p и для соответствующих слагаемых ряда Тейлора получены явные формулы. На этой базе доказаны идейно отличные от известных результатов утверждения, связывающие высшие производные результантов и кратные общие корни.

In the article it is proven that once polynomials f and g possess a common root w of multiplicity s for f and multiplicity p for g, the Taylor series expansion for their resultant R = R (f , g)(g , b) in variables b (coefficients g) starts with the summand of order s, and the Taylor series expansion for R = R (f , g)(g , b) in variables a (coefficients f) starts with the summand of order p; and the explicit formulas for the corresponding summands of the Taylor series are obtained. Based on this, a number of results linking higher derivatives of resultants and multiple common roots of polynomials, which differ in ideas from the well-known ones, are obtained.

корень полиномарезультанткратные корниявные формулыroot of a polynomialresultantmultiple rootsexact formulasИсследование выполнено при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект № Ф23М-003).The study was carried out with financial support from the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. Ф23М-003).ReferencesGelfand, I. M. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants / I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky. – Boston, 1994. – 528 p.Gelfand I. M. Kapranov M. M., Zelevinsky A. V. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants. Boston, 1994. 528 p.Курош, А. Г. Курс высшей алгебры: учеб. / А. Г. Курош. – 19-е изд., стереотип. – СПб., 2013. – 432 с.Kurosh A. G. Higher Algebra course. 19-th edition. Saint Petersburg, 2013. 432 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.