danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2024-68-6-447-453dan-1220Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSДлины интервалов, на которых целочисленные многочлены могут принимать малые значенияLengths of the intervals where integer polynomials can attain small valuesБерникВ. И.BernikV. I.

 Берник Василий Иванович – д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Bernik Vasiliy I. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

bernik.vasili@mail.ruВасильевД. В.VasilyevD. V.

Васильев Денис Владимирович – канд. физ.-мат. наук

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Vasilyev Denis V. – Ph. D. (Physics and Mathematics)

11, Surganov Str., 220072, Minsk

vasilyev@im.bas-net.byКудинА. С.KudinA. S.

Кудин Алексей Сергеевич – канд. физ.-мат. наук

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Kudin Alexey S. – Ph. D. (Physics and Mathematics)

11, Surganov Str., 220072, Minsk

knxd@yandex.ruПантелееваЖ. И.PanteleevaZh. I.

Пантелеева Жанна Ивановна – ст. преподаватель

пр. Независимости, 99, 220012, Минск

Panteleeva Zhanna I. – Senior Lecturer

99, Nezavisimosti Ave., 220012, Minsk

janna.panteleeva001@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный аграрный технический университетBelarusian State Agrarian Technical University202408012025686447453Copyright © Берник В.И., Васильев Д.В., Кудин А.С., Пантелеева Ж.И., 20252025Берник В.И., Васильев Д.В., Кудин А.С., Пантелеева Ж.И.Bernik V.I., Vasilyev D.V., Kudin A.S., Panteleeva Z.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1220

Понятие дискриминанта многочлена второй степени позволяет легко получать информацию о его действительных и комплексных корнях. Дискриминант многочлена произвольной степени также является важной характеристикой многочлена, которая оказывается полезной во многих задачах теории диофантовых приближений. В 2023 г. белорусский математик Д. Бодягин решил поставленную в 1960-х годах проблему Давенпорта о диапазоне значений дискриминантов многочленов для случая третьей степени. В данной работе полностью решена проблема делимости дискриминантов многочленов третьей степени на большую степень простого числа.

The concept of the discriminant of a quadratic polynomial allows for easy extraction of information about its real and complex roots. The discriminant of a polynomial of an arbitrary degree is also an important characteristic of the polynomial, which proves useful in many problems in the theory of Diophantine approximation. In 2023, Belarusian mathematician D. Badziahin solved a problem posed by Davenport in the 1960s concerning the range of values of discriminants in the cubic case. The paper provides a complete solution to the problem of divisibility of discriminants by large powers of prime numbers in the case of cubic polynomials.

диофантовы приближенияр-адические числадискриминант целочисленного многочленатеорема Дирихлетеорема ХинчинаDiophantine approximationp-adic numbersdiscriminant of an integer polynomialDirichlet’s theoremKhinchine’s theoremReferencesКасселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений / Дж. В. С. Касселс. – М., 1961. – 213 c.Cassels J. W. S. An introduction to diophantine approximation. Cambridge University Press, 1957. 166 p.Khintchine, A. Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen / A. Khintchine // Mathematische Annalen. – 1924. – Vol. 92. – P. 115–125. https://doi.org/10.1007/bf01448437Khintchine A. Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. Mathematische Annalen, 1924, vol. 92, pp. 115–125 (in German). https://doi.org/10.1007/bf01448437Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1982. – Т. 42, № 3. – С. 219–253. https://doi.org/10.4064/aa-42-3-219-253Bernik V. I. Application of Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximation. Acta Arithmetica, 1982, vol. 42, no. 3, pp. 219–253 (in Russian). https://doi.org/10.4064/aa-42-3-219-253Beresnevich, V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers / V. Beresnevich // Acta Arith. – 1999. – Vol. 50, N 2. – P. 97–112. https://doi.org/10.4064/aa-90-2-97-112Beresnevich V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers. Acta Arithmetica, 1999, vol. 90, no. 2, pp. 97–112. https://doi.org/10.4064/aa-90-2-97-112Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск, 1967. – 181 c.Sprindzhuk V. G. Mahler’s problem in metric number theory. Minsk, 1967. 181 p. (in Russian).Beresnevich, V. V. A Groshev type theorem for convergence on manifolds / V. V. Beresnevich // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. – 2002. – Vol. 94. – P. 99–130. https://doi.org/10.1023/a:1015662722298Beresnevich V. V. A Groshev type theorem for convergence on manifolds. Acta Mathematica Hungarica, 2002, vol. 94, pp. 99–130. https://doi.org/10.1023/a:1015662722298Beresnevich, V. Number theory meets wireless communications: an introduction for dummies like us / V. Beresnevich, S. Velani // Number Theory Meets Wireless Communications / eds. V. Beresnevich [et al.]. – Springer International Publishing, 2020. – P. 1–67. https://doi.org/10.1007/978-3-030-61303-7_1Beresnevich V., Velani S. Number theory meets wireless communications: an introduction for dummies like us. Beresnevich V., ed. Number Theory Meets Wireless Communications. Springer International Publishing, 2020, pp. 1–67. https://doi.org/10.1007/978-3-030-61303-7_1Берник, В. И. О числе целочисленных многочленов заданной степени и ограниченной высоты с малой производной в корне многочлена / В. И. Берник, Д. В. Васильев, А. С. Кудин // Тр. Ин-та математики. – 2014. – Т. 22, № 2. – C. 3–8.Bernik V. I., Vasiliev D. V., Kudin A. S. On the number of integer polynomials of a given degree and bounded height with a small derivative at the root of the polynomial. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2014, no. 2, pp. 3–8 (in Russian).Badziahin, D. Simultaneous Diophantine approximation to points on the Veronese curve [Electronic resource] / D. Badziahin. – Mode of access: https://arxiv.org/abs/2403.17685. – Date of access: 20.06.2024.Badziahin D. Simultaneous Diophantine approximation to points on the Veronese curve. Available at: https://arxiv.org/abs/2403.17685 (accessed 20 June 2024).Вклад Йонаса Кубилюса в метрическую теорию диофантовых приближений зависимых переменных / В. В. Бересневич [и др.] // Журн. БГУ. Математика. Информатика. – 2021. – № 3. – С. 34–50 (на англ. яз.). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2021-3-34-50Beresnevich V. V., Bernik V. I., Götze F., Zasimovich E. V., Kalosha N. I. Contribution of Jonas Kubilius to the metric theory of Diophantine approximation of dependent variables. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2021, no. 3, pp. 34–50. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2021-3-34-50Bernik, V. I. Metric Diophantine approximation on manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson // Cambridge Tracts in Mathematics. – 1999. – N 137. – 172 p. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991Bernik V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine approximation on manifolds. Cambridge Tracts in Mathematics, 1999, no. 137. 172 p. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991Кемеш, О. Н. Точные оценки меры малых значений целочисленных полиномов / О. Н. Кемеш, Ж. И. Пантелеева, А. В. Титова // Весн. Магілёўскага дзяржаўнага ўніверсітэта імя А. А. Куляшова. Сер. В. – 2021. – № 1 (57). – С. 81–86.Kemesh O. N., Panteleeva Zh. I., Titova A. V. Exact estimates of the measure of small values of integer polynomials Vesnіk Magіleўskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya A. A. Kulyashova. Seryya V = Bulletin Mogilev State A. Kuleshov University, Seria B, 2021, no. 1 (57), pp. 81–86 (in Russian).Метрическая теория диофантовых приближений и асимптотические оценки для количества многочленов с заданными дискриминантами, делящимися на большую степень простого числа / В. И. Берник [и др.] // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2023. – Т. 67, № 4. – С. 271–278. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2023-67-4-271-278Bernik V. I., Vasilyev D. V., Kalosha N. I., Panteleeva Zh. I. Metric theory of diophantine approximation and asymptotic estimates for the number of polynomials with given discriminants divisible by a large power of a prime number. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2023, vol. 67, no. 4, pp. 271–278 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2023-67-4-271-278Криптология: учебник / Ю. С. Харин [и др.]. – Минск, 2013. – 511 с.Kharin Yu. S., Agievich S. V., Vasilyev D. V., Matveev G. V. Cryptology. Minsk, 2013. 511 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.