danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-202569-3-183-191dan-1250Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSУправление асинхронным спектром линейных периодических систем с вырожденным правым нижним диагональным блоком усреднения матрицы коэффициентовControl problem of the asynchronous spectrum of linear periodic systems with degenerate right lower diagonal block of averaging of coefficient matrixДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – д-р физ.-мат.наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Demenchuk Aleksandr K. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Science of Belarus202510072025693183191Copyright © Деменчук А.К., 20252025Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1250

Рассматривается линейная система управления с периодической матрицей коэффициентов и программным управлением. Матрица при управлении постоянная, прямоугольная и ее ранг не является максимальным. Предполагается, что управление является периодическим, при этом модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Ставится следующая задача: выбрать такое управление из допустимого множества, чтобы у системы появились периодические решения, спектр частот (множество показателей Фурье) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей управления асинхронным спектром с целевым множеством частот. Решение сформулированной задачи существенным образом зависит от структуры среднего значения матрицы коэффициентов. К настоящему времени такая задача решена для систем с нулевым средним. Кроме того, изучен случай, когда у матрицы при управлении есть нулевые строки, усреднение матрицы коэффициентов имеет вырожденный левый верхний диагональный блок, а остальные ее блоки – нулевые. Вопрос для системы с вырожденным правым нижним блоком усреднения оставался открытым. В настоящей работе для указанного класса систем исследуется задача управления асинхронным спектром. Установлено, в частности, что для ее разрешимости необходимо, чтобы блок, образованный первыми строками матрицы коэффициентов, имел неполный столбцовый ранг.

The present study considers a linear control system with a periodic matrix of coefficients and program control. The matrix under control is constant, rectangular, and its rank is not maximum. It is assumed that the control is periodic, and that the modulus of its frequencies, i. e. the smallest additive group of real numbers, including all the Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency modulus of the coefficient matrix. The following problem is posed: to select such a control from an admissible set that the system would have periodic solutions, the frequency spectrum (the set of Fourier exponents) of which contains a predetermined subset, and the intersection of the modules of the frequencies of the solution and the matrix of coefficients is trivial. The posed problem can thus be termed the ‘problem of control of the asynchronous spectrum with the target set of frequencies’. The solution to the posed problem essentially depends on the structure of the average value of the matrix of coefficients. To date, this problem has been solved for systems with zero mean. In addition, the case is studied when the matrix under control has zero rows, the averaging of the matrix of coefficients has a degenerate left upper diagonal block, and the rest of its blocks are zero. The question for a system with a nontrivial right lower averaging block remained open. In the present work, we study the problem of control of the asynchronous spectrum for the indicated class of systems. It has been established, in particular, that for the solvability of this problem it is necessary that the block formed by the rows of the matrix of coefficients has an incomplete column rank.

периодические линейные системы управлениясреднее значениепоказатели Фурьеасинхронный спектрperiodic linear control systemsmean valueFourier exponentsasynchronous spectrumReferencesЗубов, В. И. Лекции по теории управления / B. И. Зубов. – М., 1975. – 495 с.Zubov V. I. Lectures on Control Theory. Мoscow, 1975. 495 p. (in Russian).Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. – Минск, 2012. – 407 с.Makarov E. K., Popova S. N. Controllability of Asymptotic Invariants of Nonstationary Linear Systems. Minsk, 2012. 407 p. (in Russian).Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Boletin de la Facultad de Ingenieria. – 1950. – Vol. 4, N 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Boletin de la Facultad de Ingenieria, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45.Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехословацкий математический журнал. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370.Kurzweil J., Vejvoda O. On the periodic and almost periodic solutions of a system of ordinary differential equations. Chekhoslovatskii matematicheskii zhurnal = Czechoslovak Mathematical Journal, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian).Деменчук, А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний / А. К. Деменчук // Доклады Национальной академии наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 4. – С. 37–42.Demenchuk A. K. The control problem of the spectrum of strongly irregular periodic oscillations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2009, vol. 53, no. 4, pp. 37–42 (in Russian).Деменчук, А. К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления / А. К. Деменчук. – Saarbrucken, 2012. – 186 с.Demenchuk A. Asynchronous Oscillations in Differential Systems. Conditions of Existence and Control. Saarbrucken, 2012. 186 p. (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с нулевым средним значением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 31–34.Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of linear systems with zero mean value of the matrix of coefficients. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018, vol. 26, no. 1, pp. 31–34 (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с невырожденным средним значением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2020. – Т. 28, № 1–2. – С. 11–16.Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of linear systems with a non­degenerate mean value of the matrix of coefficients. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2020, vol. 28, no. 1–2, pp. 11–16 (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с матрицей при управлении максимального ранга / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2019. – Т. 27, № 1–2. – С. 23–28.Demenchuk A. K. Asynchronous spectrum control of linear systems with a matrix under maximum rank control. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2019, vol. 27, no. 1–2, pp. 23–28 (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с невырожденным диагональным блоком усреднения матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2022. – Т. 30, № 1–2. – С. 22–29.Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of linear systems with a non-degenerate diagonal averaging block of the matrix of coefficients. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2022, vol. 30, no. 1–2, pp. 22–29 (in Russian).Грудо, Э. И. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных неоднородных периодических дифференциальных систем / Э. И. Грудо, А. К. Деменчук // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т. 23, № 3. – С. 409–416.Grudo E. I., Demenchuk A. K. On periodic solutions with incommensurable periods of linear nonhomogeneous periodic differential systems. Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 3, pp. 409–416 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.