danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2025-69-6-447-453dan-1279Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКомпактные разностные схемы для одномерных квазилинейных параболических уравненийCompact difference schemes for one-dimensional quasilinear parabolic equationsМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск 

Matus Piotr P. – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk 

piotr.p.matus@gmail.comУтебаевБ. Д.UtebaevB. D.

Утебаев Бахадыр Даулетбай улы – канд. физ.-мат. наук, доцент

ул. Ч. Абдирова, 1, 230112, Нукус 

Utebaev Bakhadir D. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

1, Ch. Abdirov Str., 230112, Nukus 

bakhadir1992@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusКаракалпакский государственный университет имени БердахаKarakalpak State University named after Berdakh202505012026696447453Copyright © Матус П.П., Утебаев Б.Д., 20262026Матус П.П., Утебаев Б.Д.Matus P.P., Utebaev B.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1279

Предлагаются и исследуются компактные разностные схемы порядка аппроксимации 4 + 1 и 4 + 2 на минимальных шаблонах для одномерного нестационарного квазилинейного уравнения теплопроводности, не требующие итерационного процесса для их реализации. Вычислительный эффект достигается в результате распараллеливания метода прогонки по четным и нечетным узлам. Получены условия монотонности и доказаны двусторонние оценки разностного решения и априорные оценки в равномерной норме. Приводятся также вычислительные эксперименты, иллюстрирующие эффективность предложенных методов, а также их сходимость с соответствующим порядком.

Compact finite difference schemes of approximation orders 4 + 1 and 4 + 2, constructed on minimal stencils, are presented and investigated for the one-dimensional non-stationary quasilinear heat equation, and do not require an iterative process for their implementation. The computational efficiency is achieved by parallelizing the Thomas algorithm over even and odd grid nodes. The monotonicity conditions are obtained and two-sided estimates of the difference solution and a priori estimates in the uniform norm are proved. Computational experiments are also presented to illustrate the effectiveness of the proposed methods, as well as their convergence with the corresponding order.

компактная разностная схемауравнение теплопроводностипогрешность аппроксимациидвусторонние оценкиравномерная нормаcompact difference schemeheat equationapproximation errortwo-sided estimatesuniform normРабота первого автора поддержана Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований (проект Ф25УЗБ-008), работа второго автора поддержана Министерством высшего образования, науки и инноваций Республики Узбекистан (проект FL-8824063232).The work of the first author was supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. F25UZB-008), and the work of the second author was supported by the Ministry of Higher Education, Science and Innovation of the Republic of Uzbekistan (project no. FL-8824063232).ReferencesLemeshevsky, S. Exact Finite-Difference Schemes / S. Lemeshevsky, P. Matus, D. Poliakov. – Berlin, 2016. https://doi.org/10.1515/9783110491326Lemeshevsky S., Matus P., Poliakov D. Exact Finite-Difference Schemes. Berlin, 2016. https://doi.org/10.1515/9783110491326Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1963. – Т. 3, № 5. – С. 812–840.Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107–1146. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6Толстых, А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А. И. Толстых. – М., 1990. – 230 с.Tolstykh A. I. Compact Finite Difference Schemes and Application in Aerodynamic Problems. Moscow, 1990. 230 p. (in Russian).Матус, П. П. Компактные и монотонные разностные схемы для параболических уравнений / П. П. Матус, Б. Д. Утебаев // Математическое моделирование. – 2021. – Т. 33, № 4. – С. 60–78. https://doi.org/10.20948/mm-2021-04-04Matus P. P., Utebaev B. D. Compact and monotone difference schemes for parabolic equations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2021, vol. 13, pp. 1038–1048. https://doi.org/10.1134/s2070048221060132Матус, П. П. Компактные и монотонные разностные схемы для обобщенного уравнения Фишера / П. П. Матус, Б. Д. Утебаев // Дифференциальные уравнения. – 2022. – Т. 58, № 7. – С. 947–961.Matus P. P., Utebaev B. D. Compact and monotone difference schemes for the generalized Fisher equation. Differential Equations, 2022, vol. 58, no. 7, pp. 937–951. https://doi.org/10.1134/s0012266122070072Матус, П. П. Монотонные схемы условной аппроксимации и произвольного порядка точности для уравнения переноса / П. П. Матус, Б. Д. Утебаев // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2022. – Т. 62, № 3. – С. 367–380.Matus P. P., Utebaev B. D. Monotone schemes of conditional approximation and arbitrary order of accuracy for the transport equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2022, vol. 62, no. 3, pp. 359–371. https://doi.org/10.1134/S0965542522030101Матус, П. П. Консервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка для квазилинейных уравнений / П. П. Матус, Г. Ф. Громыко, Б. Д. Утебаев // Доклады Национальной академии наук Беларуси. – 2024. – Т. 68, № 1. – С. 7–14. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14Matus P. P., Gromyko G. Ph., Utebaev B. D. Conservative compact and monotone fourth order difference schemes for quasilinear equations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2024, vol. 68, no. 1, pp. 7–14 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14Mohanty, R. K. High-precision numerical method for 1D quasilinear hyperbolic equations on a time-graded mesh: application to Telegraph model equation / R. K. Mohanty, B. P. Ghosh, G. Khurana // Soft Computing. – 2023. – Vol. 27. – P. 6095–6107. https://doi.org/10.1007/s00500-023-07909-3Mohanty R. K., Ghosh B. P., Khurana G. High-precision numerical method for 1D quasilinear hyperbolic equations on a time-graded mesh: application to Telegraph model equation. Soft Computing, 2023, vol. 27, pp. 6095–6107. https://doi.org/10.1007/s00500-023-07909-3Samarskii, A. A. Difference Schemes with Operator Factors / А. А. Samarskii, P. P. Matus, P. N. Vabishchevich. – London, 2002. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference Schemes with Operator Factors. London, 2002. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М., 1983. – 616 с.Samarskii A. A. Theory of Difference Schemes. Moscow, 1983. 616 p. (in Russian).Киреев, В. И. Численные методы в примерах и задачах / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. – М., 2008. – 480 с.Kireev V. I., Panteleev A. V. Numerical Methods in Examples and Problems. Moscow, 2008. 480 p. (in Russian).Matus, P. On the consistent two-side estimates for the solutions of quasilinear convection-diffusion equations and their approximations on non-uniform grids / P. Matus, D. Poliakov, L. M. Hieu // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2018. – Vol. 340, N 1. – P. 571–581. https://doi.org/10.1016/j.cam.2017.09.020Matus P., Poliakov D., Hieu L. M. On the consistent two-side estimates for the solutions of quasilinear convectiondiffusion equations and their approximations on non-uniform grids. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2018, vol. 340, no. 1, pp. 571–581. https://doi.org/10.1016/j.cam.2017.09.020Консервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка для одномерных и двумерных квазилинейных уравнений / П. П. Матус, Г. Ф. Громыко, В. Д. Утебаев, В. Т. К. Туен // Дифференциальные уравнения. – 2025. – Т. 61, № 8. – С. 1117–1134. https://doi.org/10.7868/S3034503025080097Matus P. P., Gromyko G. Ph., Utebaev B. D., Tuyen V. T. K. Conservative compact and monotone fourth order difference schemes for one-dimensional and two-dimensional quasilinear equations. Differential Equations, 2025, vol. 61, no. 8, pp. 1117–1134 (in Russian). https://doi.org/10.7868/S3034503025080097Tingchun, Wang. Convergence of an eight-order compact difference scheme for the nonlinear Schrödinger equation / Wang Tingchun // Advances in Numerical Analysis. – 2012. – Vol. 2012. – Art. 913429. https://doi.org/10.1155/2012/913429Tingchun Wang. Convergence of an eight-order compact difference scheme for the nonlinear Schrödinger equation. Advances in Numerical Analysis, 2012, vol. 2012, art. 913429. https://doi.org/10.1155/2012/913429

The authors declare that there are no conflicts of interest present.