danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2026-70-1-7-13dan-1289Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКомпактные разностные схемы для параболических уравнений на основе методов Рунге–КуттыCompact difference schemes for parabolic equations on the base of Runge–Kutta methodsМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник.

Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Matus Piotr P. – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

piotr.p.matus@gmail.comТуенВ. Т. К.TuyenV. T. K.

Туен Во Тхи Ким – канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник.

Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Tuyen Vo Thi Kim – Ph. D. (Physics and Mathematics), Researcher.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

vokimtuyen188@gmail.comФалейчикБ. В.FaleichikB. V.

Фалейчик Борис Викторович – канд. физ.-мат. наук, доцент.

Пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Faleichik Boris V. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

faleichik@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University202602032026701713Copyright © Матус П.П., Туен В., Фалейчик Б.В., 20262026Матус П.П., Туен В., Фалейчик Б.В.Matus P.P., Tuyen V., Faleichik B.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1289

Впервые строятся устойчивые экономичные компактные разностные схемы порядка точности 2 + 4 и 4 + 4 для простейшего параболического уравнения на основе использования идеи метода прямых и методов Рунге–Кутты для решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении вычислительного алгоритма используется только трехточечный шаблон при аппроксимации уравнения по пространственной переменной, что позволяет использовать известный метод прогонки для обращения обратной матрицы за O(N) арифметических операций, где N – число точек сетки по пространству. Построение компактных схем аналогичного порядка на основе обычного интегро-интерполяционного метода приводит лишь к абсолютно неустойчивым алгоритмам. Показаны результаты вычислительного эксперимента, иллюстрирующие эффективность предложенного алгоритма.

In this work, for the first time, stable and economical compact finite-difference schemes of order of accuracy 2 + 4 and 4 + 4 are constructed for the simplest parabolic equation, based on the idea of the method of lines and Runge–Kutta methods for solving systems of nonlinear ordinary differential equations. In constructing the computational algorithm, only a three-point stencil is used for approximating the equation by the spatial variable, which allows us to use the well-known tridiagonal matrix algorithm for inverting the matrix in O(N) arithmetic operations, where N is the number of grid points in space. When constructing compact schemes of the same order based on the conventional integro-interpolation method leads only to absolutely unstable algorithms. Results of computational experiments are presented, illustrating the efficiency of the proposed algorithm.

компактная разностная схемапараболическое уравнениеустойчивостьметоды Рунге–Куттывычислительный экспериментcompact difference schemeparabolic equationstabilityRunge–Kutta methodscomputational experimentReferencesКонсервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка для одномерных и двумерных квазилинейных уравнений / П. П. Матус, Г. Ф. Громыко, В. Д. Утебаев, В. Т. К. Туен // Дифференциальные уравнения. – 2025. – Т. 61, № 8. – С. 1117–1134. https://doi.org/10.7868/s3034503025080097Matus P. P., Gromyko G. Ph., Utebaev B. D., Tuyen V. T. K. Conservative compact and monotone fourth-order difference schemes for one-dimensional and two-dimensional quasilinear equations. Differential Equations, 2025, vol. 61, no. 8, pp. 1117–1134 (in Russian). https://doi.org/10.7868/s3034503025080097Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1963. – Т. 3, № 5. – С. 812–840.Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107–1146. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6Матус, П. П. Консервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка для квазилинейных уравнений / П. П. Матус, Г. Ф. Громыко, Б. Д. Утебаев // Доклады Национальной академии наук Беларуси. – 2024. – Т. 68, № 1. – С. 7–14. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14Matus P. P., Gromyko G. Ph., Utebaev B. D. Conservative compact and monotone fourth order difference schemes for quasilinear equations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2024, vol. 68, no. 1, pp. 7–14 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14Матус, П. П. Трехслойные компактные разностные схемы для гиперболического уравнения теплопроводности / П. П. Матус, В. Т. К. Туен, Б. Д. Утебаев // Математическое моделирование. – 2025. – Т. 37, № 4. – С. 51–67.Matus P. P., Tuyen V. T. K., Utebaev B. D. Three-layer compact difference scheme for hyperbolic heat conduction equation. Mathematical Models and Computer Simulations, 2025, vol. 17, no. 6, pp. 675–686. https://doi.org/10.1134/s2070048225700413Широбоков, Н. В. Диагонально-неявные схемы Рунге–Кутты / Н. В. Широбоков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2002. – Т. 42, № 7. – С. 1013–1018.Shirobokov N. V. Diagonally implicit Runge–Kutta schemes. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2002, vol. 42, no. 7, pp. 974–979.Рогов, Б. В. О сходимости компактных разностных схем / Б. В. Рогов, М. Н. Михайловская // Математическое моделирование. – 2008. – Т. 20, № 1. – С. 99–117.Rogov B. V., Mikhailovskaya M. N. On the convergence of compact difference schemes. Mathematical Models and Computer Simulations, 2009, vol. 1, no. 1, pp. 91–104. https://doi.org/10.1134/S2070048209010104Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – М., 1970. – 720 с.Hartman P. Ordinary Differential Equations. Wiley, 1964.Скворцов, Л. М. О неявных методах Рунге–Кутты, полученных в результате обращения явных методов / Л. М. Скворцов // Математическое моделирование. – 2017. – Т. 29, № 1. – С. 3–19.Skvortsov L. M. On implicit Runge–Kutta methods obtained as a result of the inversion of explicit methods. Mathematical Models and Computer Simulations, 2017, vol. 9, pp. 498–510. https://doi.org/10.1134/S2070048217040123Исполов, Ю. Г. Построение методов и организация алгоритмов численного интегрирования нестационарной задачи теплопроводности / Ю. Г. Исполов, Е. А. Постоялкина, Н. Н. Шабров // Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2002. – № 2. – С. 1–25.Ispolov Yu. G., Postoyalkina E. A., Shabrov N. N. Development of numerical methods and organization of numerical integration algorithms for nonstationary heat conduction problem. Differentsial’nye uravneniya i protsessy upravleniya = Differential Equations and Control Processes, 2002, no. 2, pp. 1–25 (in Russian).Hundsdorfer, W. Numerical Solution of Time-Dependent Advection–Diffusion–Reaction Equations / W. Hundsdorfer, J. Verwer. – Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. – 472 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09017-6Hundsdorfer W., Verwer J. Numerical Solution of Time-Dependent Advection–Diffusion–Reaction. Berlin, Heidelberg, Springer, 2003. 472 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09017-6Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер. – М., 1999. – 685 с.Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer Berlin, Heidelberg, 1996. https://doi.org/10.1007/978-3-642-05221-7Самарский, А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М., 1973. – 416 с.Samarskii A. A., Gulin A.V. Stability of Difference Schemes. Moscow, 1973. 416 p. (in Russian).Wang, T. Convergence of an eight-order compact difference scheme for the nonlinear Schrödinger equation / T. Wang // Advances in Numerical Analysis. – 2012. – Vol. 2012. – Art. 913429. https://doi.org/10.1155/2012/913429Wang T. Convergence of an eight-order compact difference scheme for the nonlinear Schrödinger equation. Advances in Numerical Analysis, 2012, vol. 2012, art. 913429. https://doi.org/10.1155/2012/913429

The authors declare that there are no conflicts of interest present.