danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2026-70-2-95-101dan-1298Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSУсловия разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных периодических систем с левым верхним постоянным блоком матрицы коэффициентовConditions of solvability of the asynchronous spectrum control problem for linear periodic systems with upper left constant block of coefficient matrixДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Demenchuk Aleksandr K. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus20260405202670295101Copyright © Деменчук А.К., 20262026Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1298

Рассматривается линейная система управления с периодической матрицей коэффициентов и программным управлением. Матрица при управлении постоянная, число столбцов не превосходит числа строк и ее ранг меньше числа столбцов. Предполагается, что управление является нетривиальным периодическим, при этом модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого управления, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Для рассматриваемой системы ставится задача управления асинхронным спектром: построить такое управление из допустимого множества, чтобы система имела сильно нерегулярные периодические решения. В таком случае период решения несоизмерим с периодом системы. Ранее решение сформулированной задачи осуществлялось для различных случаев вырождения среднего значения матрицы коэффициентов. В настоящей работе реализуется новый подход, касающийся непосредственно самой матрицы коэффициентов. В предположении стационарности ее левого верхнего и максимального столбцового ранга осциллирующей части правого верхнего блоков для рассматриваемого класса систем получены необходимые, а также достаточные условия разрешимости задачи управления асинхронным спектром.

The focus of this study is a linear control system with a periodic matrix of coefficients and program control. The matrix under control is constant, the number of columns does not exceed the number of rows and its rank is less than the number of columns. It is assumed that the control is nontrivial periodic, and the module of its frequencies, i. e., the smallest additive group of real numbers, including all Fourier exponents of this control, is contained in the frequency module of the coefficient matrix. For the system under consideration, the problem of control of the asynchronous spectrum is posed: to construct such a control from an admissible set so that the system has strongly irregular periodic solutions. In this case, the period of the solution is incommensurate with the period of the system. Previously, the solution of the formulated problem was carried out for various cases of degeneracy of the average value of the coefficient matrix. In this work, a new approach is implemented that directly concerns the coefficient matrix itself. Under the assumption that its upper left block is stationary and the oscillating part of the upper right block has the maximum column rank, both necessary and also sufficient conditions for the solvability of the asynchronous spectrum control problem are obtained for the class of systems under consideration. 

периодические линейные системы управлениясильно нерегулярные периодические решениячастотный спектр решенияасинхронный режимperiodic linear control systemshighly irregular periodic solutionsfrequency spectrum of the solutionasynchronous modeРабота выполнена в Институте математики НАН Беларуси в рамках ГПФИ «Конвергенция–2026.The work was carried out at the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus within the framework of the SPFI “Convergence– 2026”ReferencesЗубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. – М., 1975. – 495 c.Zubov V. I. Lectures on Control Theory. Мoscow, 1975. 495 p. (in Russian).Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. – Мн., 2012. – 407 c.Makarov E. K., Popova S. N. Controllability of Asymptotic Invariants of Nonstationary Linear Systems. Minsk, 2012. 407 p. (in Russian).Асинхронное возбуждение незатухающих колебаний / Д. И. Пеннер, Д. Б. Дубошинский, М. И. Козаков [и др.] // Успехи физических наук. – 1973. – Т. 109, вып. 2. – C. 402–406. https://doi.org/10.3367/ufnr.0109.197302j.0402Penner D. I., Duboshinskii D. B., Kozakov M. I., Vermel’ A. S., Galkin Yu. V. Asynchronous excitation of undamped oscillations. Soviet Physics Uspekhi, 1973, vol. 16, pp. 158–160. https://doi.org/10.1070/pu1973v016n01abeh005156Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Boletin de la Facultad de Ingenieria. – 1950. – Vol. 4, N 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Boletin de la Facultad de Ingenieria, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45.Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехословацкий математический журнал. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370. https://doi.org/10.21136/cmj.1955.100152Kurzweil J., Vejvoda O. On the periodic and almost periodic solutions of a system of ordinary differential equation. Czechoslovak Mathematical Journal, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian). https://doi.org/10.21136/cmj.1955.100152Еругин, Н. П. О периодических решениях дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин // Прикладная математика и механика. – 1956. – Т. 20, вып. 1. – С. 148–152.Erugin N. P. On periodic solutions of differential equations. Prikladnaya matematika i mekhanika = Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1956, vol. 20, no. 1, pp. 148–152 (in Russian).Гайшун, И. В. Уравнения в полных производных с периодическими коэффициентами / И. В. Гайшун // Доклады АН БССР. – 1979. – Т. 23, № 8. – С. 684–686.Gaishun I. V. Equations in full derivatives with periodic coefficients. Doklady AN BSSR, 1979, vol. 23, no. 8, pp. 684– 686 (in Russian).Грудо, Э. И. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных неоднородных периодических дифференциальных систем / Э. И. Грудо, А. К. Деменчук // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т. 23, № 3. – С. 409–416.Grudo E. I., Demenchuk A. K. On periodic solutions with incommensurable periods of linear nonhomogeneous periodic differential systems. Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 3, pp. 409–416 (in Russian).Ласунский, А. В. О периоде решений дискретного периодического логистического уравнения / А. В. Ласунский // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. – 2012. – № 5. – С. 44–48.Lasunsky А. V. On the period of solutions of a discrete periodic logistic equation. Trudy Karel’skogo nauchnogo tsentra Rossiiskoi akademii nauk = Transactions of the Karelian Research Centre of the Russian Academy of Sciences, 2012, no. 5, pp. 44–48 (in Russian).Борухов, В. Т. Сильно инвариантные подпространства неавтономных линейных периодических систем и их решения с периодом, несоизмеримым с периодом системы / В. Т. Борухов // Дифференциальные уравнения. – 2018. – Т. 54, № 5. – С. 585–591. https://doi.org/10.1134/s0374064118050035Borukhov V. T. Strongly invariant subspaces of nonautonomous linear periodic systems and solutions whose period is incommensurable with the period of the system itself. Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 5, pp. 578–585. https://doi.org/10.1134/s0012266118050026Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с нулевым средним значением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 31–34.Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of linear systems with zero mean value of the matrix of coefficients. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018, vol. 26, no. 1, pp. 31–34 (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с невырожденным диагональным блоком усреднения матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2022. – Т. 30, № 1–2. – С. 22–29.Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of linear systems with a non-degenerate diagonal averaging block of the matrix of coefficients. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2022, vol. 30, no. 1–2, pp. 22–29 (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с матрицей при управлении максималь ного ранга / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2019. – Т. 27, № 1–2. – С. 23–28.Demenchuk A. K. Asynchronous spectrum control of linear systems with a matrix under maximum rank control. Trudy Instituta Matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2019, vol. 27, no. 1–2, pp. 23–28 (in Russian).Деменчук, А. К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления / А. К. Деменчук. – Saarbrucken, 2012. – 186 c.Demenchuk A. Asynchronous Oscillations in Differential Systems. Conditions of Existence and Control. Saarbrucken, 2012. 186 p. (in Russian).Левитан, Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан. – М., 1953. – 396 с.Levitan B. M. Almost Periodic Functions. Moscow, 1953. 396 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.