danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2026-70-5-359-363dan-1328Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПрименение метода возмущений к задаче оптимизации линейной сингулярно возмущенной системы с большой длительностью процесса управленияApplication of perturbation method to optimization problem of linear singularly perturbed system with long duration of control processКалининА. И.KalininA. I.

Калинин Анатолий Иосифович – д-р физ.-мат. наук, профессор

пр. Независимости, 4, 220030, Минск 

Kalinin Anatoliy I. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk 

kalininai@bsu.byЛавриновичЛ. И.LavrinovichL. I.

Лавринович Леонид Иванович – канд. физ.-мат. наук, доцент

пр. Независимости, 4, 220030, Минск 

Lavrinovich Leonid I. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk 

lavrinovich@bsu.byБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarus202613112026705359363Copyright © Калинин А.И., Лавринович Л.И., 20262026Калинин А.И., Лавринович Л.И.Kalinin A.I., Lavrinovich L.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/1328

Рассмотрена задача оптимизации переходного процесса большой продолжительности в линейной сингулярно возмущенной системе, которая состоит в нахождении многомерного допустимого управления с наименьшим значением интегрального квадратичного критерия качества. Ее можно трактовать как задачу управления с минимальными энергетическими затратами. Настоящая задача путем перехода к «медленному» времени сводится к задаче оптимизации сингулярно возмущенной системы с двумя группами разнотемповых быстрых переменных при отсутствии медленных переменных. С помощью подхода, опирающегося на принцип максимума и метод пограничных функций, строится асимптотическое приближение к решению этой задачи в виде суммы оптимальных управлений в двух невозмущенных задачах меньшей размерности с бесконечной длительностью процесса.

The paper considers the problem of optimizing a long-term transient process in a linear singularly perturbed system, which consists of finding a multidimensional admissible control with the minimal value of an integral quadratic performance index. This problem can be interpreted as a control problem with minimal energy consumption. By passing to “slow time”, the problem is reduced to that of optimizing a singularly perturbed system with two groups of fast variables at different rates in the absence of slow variables. Using an approach based on the maximum principle and the method of boundary functions, an asymptotic approximation to the solution of this problem is constructed as a sum of optimal controls in two unperturbed problems of lower dimension with infinite process duration.

линейно-квадратичная задачасингулярно возмущенная системаоптимальное управлениеасимптотическое приближениеlinear-quadratic problemsingularly perturbed systemsoptimal controlasymptotic approximationReferencesДмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. – 2006. – № 1. – С. 3–51.Dmitriev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems. Automation and Remote Control, 2006, vol. 67, no. 1, pp. 1–43. https://doi.org/10.1134/s0005117906010012Курина, Г. А. Сингулярно возмущенные задачи с разнотемповыми быстрыми переменными / Г. А. Курина, М. А. Калашникова // Автоматика и телемеханика. – 2022. – № 11. – С. 3–61. https://doi.org/10.31857/s0005231022110010Kurina G. A., Kalashnikova M. A. Singularly perturbed problems with multi-tempo fast variables. Automation and Remote Control, 2022, vol. 83, no. 11, pp. 1679–1723. https://doi.org/10.1134/s00051179220110017Акуленко, Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления / Л. Д. Акуленко. – М., 1987. – 368 с.Akulenko L. D. Asymptotic Methods of Optimal Control. Moscow, 1987. 368 p. (in Russian).Carlson, D. A. Infinite Horizon Optimal Control: Theory and Applications / D. A. Carlson, A. Yaurie. – Berlin; Heidelberg, 1987. – Vol. 290. – 259 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02529-1Carlson D. A., Yaurie A. Infinite Horizon Optimal Control: Theory and Applications. Berlin, Heidelberg, 1987, vol. 290. 259 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02529-1Плотников, В. А. Метод усреднения в задачах управления / В. А. Плотников. – Киев; Одесса, 1992. – 188 с.Plotnikov V. A. Averaging Method in Control Problems. Kiev, Odessa, 1992. 188 p. (in Russian).Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. – М., 1968. – 476 с.Krasovskii N. N. Theory of Motion Control. Moscow, 1968. 476 p. (in Russian).Мордухович, Б. Ш. Существование оптимальных управлений / Б. Ш. Мордухович // Современные проблемы математики. – 1976. – Т. 7, № 6. – С. 207–271.Mordukhovich B. Sh. Existence of optimal controls. Journal of Soviet Mathematics, 1976, vol. 7, no. 6, pp. 752–794.Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – М., 1983. – 393 с.Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York, 1962. 360 p.Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных / А. Б. Васильева // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1963. – Т. 3, № 4. – С. 611–642.Vasil’eva A. B. Asymptotic methods in the theory of ordinary differential equations containing small parameters in front of the higher derivatives. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 4, pp. 823–863. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90381-1

The authors declare that there are no conflicts of interest present.