danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-24Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТОЧКИ В КОРОТКИХ ИНТЕРВАЛАХALGEBRAIC NUMBERS IN SHORT INTERVALSБЕРНИКВ. И.BERNIKV. I.ГЁТЦЕФ.GOETZEF.goetze@math.uni-bielefeld.deГУСАКОВАА. Г.HUSAKOVAH. G.Институт математики НАН Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, MinskУниверситет г. БилефельдаBielefeld University20162205201660259Copyright © БЕРНИК В.И., ГЁТЦЕ Ф., ГУСАКОВА А.Г., 20162016БЕРНИК В.И., ГЁТЦЕ Ф., ГУСАКОВА А.Г.BERNIK V.I., GOETZE F., HUSAKOVA H.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/24

При достаточно большом натуральном числе Q существуют интервалы I ⊂ [0,1) длины c1(n)Q−1 не содержащие алгебраических чисел никакой степени n и высоты H(P) ≤ Q. В сообщении найдено условие на интервалы I в терминах диофантовых приближений, при котором интервалы длины c 2(n)Q−γ, γ >1, содержат не менее, чем c3(n)Qn−2γ+1 алгебраических чисел α высоты H(α) ≤ Q и степени deg α = n > 2γ-1.

For sufficiently large Q there exist the intervals I ⊂ [0,1) of length c1(n)Q−1 that do not contain algebraic numbers of any degree n and of height H(P) ≤ Q. In this article we have found an condition for intervals I in terms of the Diophatine approximations when the intervals of length c2(n)Q−γ, γ >1, contain not less than c3(n)Qn−2γ+1 algebraic numbers α of height H(α) ≤ Q and degree deg α = n > 2γ -1.

алгебраические числамногочлен с целыми коэффициентамирезультантмера Лебегаalgebraic numberspolynomial with integer coefficientsresultantLebesgue measureReferencesKuipers, L. Uniform distribution of sequences. Pure and Applied Mathematics / L. Kuipers, H. Niederreiter. – New York; London; Sydney, 1974. – xiv+390 p.Kuipers, L. Uniform distribution of sequences. Pure and Applied Mathematics / L. Kuipers, H. Niederreiter. – New York; London; Sydney, 1974. – xiv+390 p.Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. Schmidt // Proc. London Math. Soc. – 1970. – Vol. 21, N 3. – P. 1–11.Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. Schmidt // Proc. London Math. Soc. – 1970. – Vol. 21, N 3. – P. 1–11.Bugeaud, Y. Approximation by algebraic numbers / Y. Bugeaud // Cambridge Tracts in Mathematics. – 2004. – Vol. 160. – 274 p.Bugeaud, Y. Approximation by algebraic numbers / Y. Bugeaud // Cambridge Tracts in Mathematics. – 2004. – Vol. 160. – 274 p.Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 с.Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 с.Каляда, Д. У. Аб размеркаваннi рэчаiсных алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi / Д. У. Каляда // Докл. НАН Беларуси. – 2012. – Т. 56, № 3. – С. 28–33.Каляда, Д. У. Аб размеркаваннi рэчаiсных алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi / Д. У. Каляда // Докл. НАН Беларуси. – 2012. – Т. 56, № 3. – С. 28–33.Берник, В. И. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах / В. И. Берник, Ф. Гетце // Изв. РАН. Cер. мат. – 2014. – Т. 79, № 1. – С. 21–42.Берник, В. И. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах / В. И. Берник, Ф. Гетце // Изв. РАН. Cер. мат. – 2014. – Т. 79, № 1. – С. 21–42.Гётце, Ф. Алгебраические числа в коротких интервалах / Ф. Гётце, А. Г. Гусакова // Докл. НАН Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 4. – С. 11–16.Гётце, Ф. Алгебраические числа в коротких интервалах / Ф. Гётце, А. Г. Гусакова // Докл. НАН Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 4. – С. 11–16.Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений / Дж. В. С. Касселс. – Москва: Изд-во Иностр. Литер., 1961. – 213 c.Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений / Дж. В. С. Касселс. – Москва: Изд-во Иностр. Литер., 1961. – 213 c.Budarina, N. Distance between conjugate algebraic numbers in clusters / N. Budarina, F. Goetze // Math. Notes. – 2013. – Vol. 94, N 5. – P. 816–819.Budarina, N. Distance between conjugate algebraic numbers in clusters / N. Budarina, F. Goetze // Math. Notes. – 2013. – Vol. 94, N 5. – P. 816–819.Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.