danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-27Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSБЛОЧНАЯ СТРУКТУРА ОБРАЗОВ УНИПОТЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В НЕПРИВОДИМЫХ МОДУЛЯРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ КЛАССИЧЕСКИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУПП МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙTHE JORDAN BLOCK STRUCTURE OF THE IMAGES OF UNIPOTENT ELEMENTS IN IRREDUCIBLE MODULAR REPRESENTATIONS OF CLASSICAL ALGEBRAICAL GROUPS OF SMALL DIMENSIONSБУСЕЛТ. С.BUSELT. S.tbusel@gmail.comСУПРУНЕНКОИ. Д.SUPRUNENKOI. D.suprunenko@im.bas-net.byИнститут математики НАН Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk2016230520166022126Copyright © БУСЕЛ Т.С., СУПРУНЕНКО И.Д., 20162016БУСЕЛ Т.С., СУПРУНЕНКО И.Д.BUSEL T.S., SUPRUNENKO I.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/27

Определена блочная структура образов унипотентных элементов в модулярных неприводимых р-ограниченных представлениях классических алгебраических групп размерности ≤100. Предложенные подходы к определению такой структуры могут быть использованы при решении аналогичной задачи для представлений бóльших размерностей, а полученная новая информация – для выдвижения обоснованных гипотез о поведении унипотентных элементов в представлениях алгебраических групп. Изучение такого поведения важно для решения задач распознавания представлений и линейных групп. В настоящее время мало известно о блочной структуре образов произвольных элементов в представлениях классических групп, поэтому детальное изучение таких образов для представлений малых размерностей оказывается полезным.

For unipotent elements of prime order, the Jordan block structure of their images in the infinitesimally irreducible representations of the classical algebraic groups in odd characteristic, whose dimensions are at most 100, is determined. The approach proposed can be applied for solving a similar problem for representations of larger dimensions. Detailed information on small cases is important for stating reasonable conjectures on the behavior of unipotent elements in irreducible representations of the classical algebraic groups.

унипотентные элементыразмерности блоков Жорданапредставления малой размерностиunipotent elementsJordan block sizesrepresentations of small dimensionReferencesSeitz, G. M. Unipotent elements, tilting modules, and saturation / G. M. Seitz // Invent. Math. – 2000. – Vol. 141, N 3. – P. 467–502.Seitz, G. M. Unipotent elements, tilting modules, and saturation / G. M. Seitz // Invent. Math. – 2000. – Vol. 141, N 3. – P. 467–502.Velichko, M. V. On the behaviour of the root elements in irreducible representations of simple algebraic groups / M. V. Velichko // Тр. Ин-та математики. – 2005. – T. 13, № 2. – C. 116–121.Velichko, M. V. On the behaviour of the root elements in irreducible representations of simple algebraic groups / M. V. Velichko // Тр. Ин-та математики. – 2005. – T. 13, № 2. – C. 116–121.Jantzen, J. C. Representations of algebraic groups (2 ed.) / J. C. Jantzen // Mathematical Surveys and Monographs. – 2003. – Vol. 107. – 576 p.Jantzen, J. C. Representations of algebraic groups (2 ed.) / J. C. Jantzen // Mathematical Surveys and Monographs. – 2003. – Vol. 107. – 576 p.Залесский, А. Е. Срезанные симметрические степени естественных реализаций групп SLm(P) и Spm(P) и их ограничения на подгруппы / А. Е. Залесский, И. Д. Супруненко // Сиб. математ. журн. – 1990. – T. 31, № 4. – C. 33–46.Залесский, А. Е. Срезанные симметрические степени естественных реализаций групп SLm(P) и Spm(P) и их ограничения на подгруппы / А. Е. Залесский, И. Д. Супруненко // Сиб. математ. журн. – 1990. – T. 31, № 4. – C. 33–46.Seitz, G. M. The maximal subgroups of classical algebraic groups / G. M. Seitz // Memoirs Amer. Math. Soc. – 1987. – Vol. 67, N 365. – P. iv–286.Seitz, G. M. The maximal subgroups of classical algebraic groups / G. M. Seitz // Memoirs Amer. Math. Soc. – 1987. – Vol. 67, N 365. – P. iv–286.Супруненко, И. Д. О блочной структуре регулярных унипотентных элементов из подсистемных подгрупп типа A1 × A2 в представлениях специальной линейной группы / И. Д. Супруненко // Зап. научн. семин. ПОМИ. – 2011. – Т. 388. – С. 247–269.Супруненко, И. Д. О блочной структуре регулярных унипотентных элементов из подсистемных подгрупп типа A1 × A2 в представлениях специальной линейной группы / И. Д. Супруненко // Зап. научн. семин. ПОМИ. – 2011. – Т. 388. – С. 247–269.Donkin, S. On tilting modules for algebraic groups / S. Donkin // Math. Zeits. – 1993. – Vol. 212. – P. 39–60.Donkin, S. On tilting modules for algebraic groups / S. Donkin // Math. Zeits. – 1993. – Vol. 212. – P. 39–60.Залесский, А. Е. Представления размерности (pn + 1) / 2 симплектической группы степени 2n над полем характеристики р / А. Е. Залесский, И. Д. Супруненко // Вести АН БССР. Сер. физ.- .- мат. наук. – 1987. – № 6. – Р. 9–15.Залесский, А. Е. Представления размерности (pn + 1) / 2 симплектической группы степени 2n над полем характеристики р / А. Е. Залесский, И. Д. Супруненко // Вести АН БССР. Сер. физ.- .- мат. наук. – 1987. – № 6. – Р. 9–15.Lubeck, F. Small degree representations of finite Chevalley groups in defining characteristic / F. Lubeck // LMS // J. Comput. Math. – 2001. – Vol. 4. – P. 135–169.Lubeck, F. Small degree representations of finite Chevalley groups in defining characteristic / F. Lubeck // LMS // J. Comput. Math. – 2001. – Vol. 4. – P. 135–169.Suprunenko, I. D. The minimal polynomials of unipotent elements in irreducible representations of the classical groups in odd characteristic / I. D. Suprunenko // Memoirs Amer. Math. Soc. – 2009. – Vol. 200, N 939. – 154 p.Suprunenko, I. D. The minimal polynomials of unipotent elements in irreducible representations of the classical groups in odd characteristic / I. D. Suprunenko // Memoirs Amer. Math. Soc. – 2009. – Vol. 200, N 939. – 154 p.Seitz, G. M. Unipotent and nilpotent classes in simple algebraic groups and Lie algebras / G. M. Seitz, M. W. Liebeck // Mathematical Surveys and Monographs. – 2012. – Vol. 180. – 380 p.Seitz, G. M. Unipotent and nilpotent classes in simple algebraic groups and Lie algebras / G. M. Seitz, M. W. Liebeck // Mathematical Surveys and Monographs. – 2012. – Vol. 180. – 380 p.Хамфриc, Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Дж. Хамфрис. – М.: МЦНМО, 2003. – 216 с.Хамфриc, Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Дж. Хамфрис. – М.: МЦНМО, 2003. – 216 с.Humphreys, J. Modular representations of finite groups of Lie types / J. Humphreys. – UK: LMS Lecture Note Series 326, 2006. – 233 p.Humphreys, J. Modular representations of finite groups of Lie types / J. Humphreys. – UK: LMS Lecture Note Series 326, 2006. – 233 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.