danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-344Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПФАФФА С МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДОСТАТОЧНО ПРОИЗВОЛЬНЫМИ НИЖНИМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ МНОЖЕСТВАМИCONSTRUCTING THE PFAFFIAN LINEAR SYSTEMS WITH MULTIDIMENSIONAL TIME AND ARBITRARY LOWER CHARACTERISTIC AND CHARACTERISTIC SETSПЛАТОНОВА. С.PLATONOVA. S.alexpltn@mail.ruКРАСОВСКИЙС. Г.KRASOVSKIIS. G.kras@im.bas-net.byУниверситет гражданской защиты МЧС БеларусиUniversity of Civil ProtectionИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus201601112016605511Copyright © ПЛАТОНОВ А.С., КРАСОВСКИЙ С.Г., 20162016ПЛАТОНОВ А.С., КРАСОВСКИЙ С.Г.PLATONOV A.S., KRASOVSKII S.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/344

Получены конструктивные доказательства существования вполне интегрируемых систем Пфаффа ∂x / ∂ti = Ai (t)x, x∈n , = ( 1, , ) m, t t tm ∈+ i = 1, m, m ≥ 2, с бесконечно дифференцируемыми ограниченными матрицами коэффициентов, имеющих произвольное несвязное нижнее характеристическое множество положительной m-меры Лебега и произвольно заданные характеристическое и нижнее характеристическое множества.

It is proved that there exist the completely integrable Pfaffian systems ∂x / ∂ti = Ai (t)x, x∈n , = ( 1, , ) m, t t tm ∈+ i = 1, m, m ≥ 2, with infinitely differentiable bounded coefficients such that the lower characteristic set of these systems is an arbitrary pre-assigned disconnected set and has a positive Lebesgue m-measure. Also, both characteristic and lower characteristic sets for these systems can be arbitrarily pre-assigned. The proofs are constructive.

вполне интегрируемые линейные системы Пфаффахарактеристическое множествонижнее характеристическое множествопостроение системы Пфаффа по заданному нижнему характеристическому множествусовместная реализуемость характеристического и нижнего характеристического множеств линейной системы Пфаффаограниченное сверху (снизу) m-мерное множествоточная верхняя (нижняя) граница многомерного множествазамкнутое сверху (снизу) многомерное множествоcompletely integrable linear Pfaffian systemsa characteristic setthe lower characteristic setconstructing or the linear Pfaffian system with arbitrary preassigned bounded disconnected lower characteristic set with positive Lebesgue m-measurethe joint realizability of the characteristic set and the lower characteristic set for the linear Pfaffian systembounded from above (from below) m-dimensional setsupremum (infimum) of multidimensional setclosed from above (from below) multidimensional setReferencesГайшун, И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения / И. В. Гайшун. – Минск, 1983.Гайшун, И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения / И. В. Гайшун. – Минск, 1983.Гайшун, И. В. Линейные уравнения в полных дифференциалах / И. В. Гайшун. – Минск, 1989.Гайшун, И. В. Линейные уравнения в полных дифференциалах / И. В. Гайшун. – Минск, 1989.Грудо, Э. И. Характеристические векторы и множества функций двух переменных и их основные свойства / Э. И. Грудо // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 12. – С. 2115–2128.Грудо, Э. И. Характеристические векторы и множества функций двух переменных и их основные свойства / Э. И. Грудо // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 12. – С. 2115–2128.Изобов, Н. А. О существовании линейных систем Пфаффа с множеством нижних характеристических векторов положительной плоской меры / Н. А. Изобов // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 12. – С. 1623–1630.Изобов, Н. А. О существовании линейных систем Пфаффа с множеством нижних характеристических векторов положительной плоской меры / Н. А. Изобов // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 12. – С. 1623–1630.Шефер, Х. Топологические векторные пространства / Х. Шефер. – М.: Мир, 1971. – 60 с.Шефер, Х. Топологические векторные пространства / Х. Шефер. – М.: Мир, 1971. – 60 с.Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука, 1976. – 543 с.Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука, 1976. – 543 с.Изобов, Н. А. О существовании линейной системы Пфаффа с несвязным нижним характеристическим множеством положительной меры / Н. А. Изобов, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 1999. – Т. 35, № 1. – С. 65–71.Изобов, Н. А. О существовании линейной системы Пфаффа с несвязным нижним характеристическим множеством положительной меры / Н. А. Изобов, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 1999. – Т. 35, № 1. – С. 65–71.Изобов, Н. А. Существование линейных систем Пфаффа с нижним характеристическим множеством положительной меры Лебега в пространстве R3 / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, № 10. – С. 1311–1318.Изобов, Н. А. Существование линейных систем Пфаффа с нижним характеристическим множеством положительной меры Лебега в пространстве R3 / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, № 10. – С. 1311–1318.Изобов, Н. А. Линейные системы Пфаффа с нижним характеристическим ножеством положительной m-меры Лебега / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 5. – С. 635–646.Изобов, Н. А. Линейные системы Пфаффа с нижним характеристическим ножеством положительной m-меры Лебега / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 5. – С. 635–646.Изобов, Н. А. Построение линейного уравнения Пфаффа с произвольно заданными характеристическим и нижним характеристическим множествами / Н. А. Изобов, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 1998. – Т. 34, № 12. – С. 1596–1603.Изобов, Н. А. Построение линейного уравнения Пфаффа с произвольно заданными характеристическим и нижним характеристическим множествами / Н. А. Изобов, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 1998. – Т. 34, № 12. – С. 1596–1603.Платонов, А. С. Существование линейных систем Пфаффа с произвольным нижним характеристическим множеством, являющимся счетным множеством отрезков пространства R3 / А. С. Платонов, А. А. Тимофеева // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1444–1452.Платонов, А. С. Существование линейных систем Пфаффа с произвольным нижним характеристическим множеством, являющимся счетным множеством отрезков пространства R3 / А. С. Платонов, А. А. Тимофеева // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1444–1452.Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. – М., 1974.Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. – М., 1974.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.