danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-346Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSВЕЛИЧИНЫ ДИСКРИМИНАНТОВ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ В АРХИМЕДОВОЙ И НЕАРХИМЕДОВОЙ МЕТРИКАХDISCRIMINANT VALUES OF INTEGRAL POLYNOMIALS IN THE ARCHIMEDEAN AND NON-ARCHIMEDEAN METRICSБЕРНИКВ. И.BERNIKV. I.bernik@im.bas-net.byБУДАРИНАН. В.BUDARINAN. V.buda77@mail.ruО’ДОННЕЛЛХ.O’DONNELLH.hugh.odonnell@nuim.ieИнститут математики НАН БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusТехнологический институт ДублинаDublin Institute of Technology2016011120166051823Copyright © БЕРНИК В.И., БУДАРИНА Н.В., О’ДОННЕЛЛ Х., 20162016БЕРНИК В.И., БУДАРИНА Н.В., О’ДОННЕЛЛ Х.BERNIK V.I., BUDARINA N.V., O’DONNELL H.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/346

Рассмотрим класс 3(Q) многочленов P(t)∈[t] степени 3 и высоты H(P) ≤ Q, Q >1. Выделим в 3(Q) подкласс S3(Q) полиномов P(t), дискриминанты которых не превосходят Q2n−2−2v1 и делятся на степень простого числа pe , pe > Q2v2 , v1 ≥ 0, v2 ≥ 0, 0 ≤ v1 + v2 < 3 / 2. Найдена оценка сверху для мощности подкласса S3(Q). Доказано, что для любого ε > 0 и Q > Q0 (ε) справедливо неравенство 4 5/3( 1 2 ) # 3( ) . S Q Q v v < − + +ε

Consider the class 3(Q) of the polynomials P(t)∈[t] of degree 3 and height H(P) ≤ Q, Q >1. Define a subclass S3(Q) in 3(Q) by taking the polynomials P(t) having discriminants not exceeding Q2n−2−2v1 and divisible by the power of the prime number pe , pe > Q2v2 , v1 ≥ 0, v2 ≥ 0, 0 ≤ v1 + v2 < 3 / 2. The upper bound on the number of the elements in S3(Q). is found. It has been proved that for any ε > 0 and Q > Q0 (ε), the inequality 4 5/3( 1 2 ) # 3( ) S Q Q v v < − + +ε is valid.

диофантовы приближенияцелочисленный многочлендискриминант целочисленного многочленаpадические числанеархимедова метрикаdiophantine approximationintegral polynomialdiscriminant of an integral polynomialp-adic numbersnon-archimedean metricReferencesВан дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. – Москва: Наука, 1976. – 648 с.Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. – Москва: Наука, 1976. – 648 с.Коледа, Д. В. Об оценке сверху для числа целочисленных многочленов третьей степени с заданной границей для дискриминантов / Д. В. Коледа // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2010. – № 3. – С. 10–16.Коледа, Д. В. Об оценке сверху для числа целочисленных многочленов третьей степени с заданной границей для дискриминантов / Д. В. Коледа // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2010. – № 3. – С. 10–16.Бересневич, В. В. Совместные приближения нуля целочисленным многочленом, его производной и малые значения дискриминантов / В. В. Бересневич, В. И. Берник, Ф. Гётце // Докл. НАН Беларуси. – 2010. – Т. 54, № 2. – P. 26–28.Бересневич, В. В. Совместные приближения нуля целочисленным многочленом, его производной и малые значения дискриминантов / В. В. Бересневич, В. И. Берник, Ф. Гётце // Докл. НАН Беларуси. – 2010. – Т. 54, № 2. – P. 26–28.Bernik, V. I. On the divisibility of the discriminant of an integral polynomial by prime powers / V. I. Bernik, F. Goetze, O. S. Kukso // Lith. Math. J. – 2008. – Vol. 48. – P. 380–396.Bernik, V. I. On the divisibility of the discriminant of an integral polynomial by prime powers / V. I. Bernik, F. Goetze, O. S. Kukso // Lith. Math. J. – 2008. – Vol. 48. – P. 380–396.Budarina, N. On the number of polynomials with small discriminants in the euclidean and p- adic metrics / N. Budarina, D. Dickinson, Jin Yuan // Acta Mathematica Sinica. – 2012. – Vol. 28, Issue 3. – P. 469–476.Budarina, N. On the number of polynomials with small discriminants in the euclidean and p- adic metrics / N. Budarina, D. Dickinson, Jin Yuan // Acta Mathematica Sinica. – 2012. – Vol. 28, Issue 3. – P. 469–476.Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 c.Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 c.Bernik, V. I. Metric Diophantine approximation on manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson. – Cambridge: Cambridge University Press, 1999.Bernik, V. I. Metric Diophantine approximation on manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson. – Cambridge: Cambridge University Press, 1999.Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, Issue 3. – P. 219–253.Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, Issue 3. – P. 219–253.Берник, В. И. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах / В. И. Берник, Ф. Гëтце // Изв. РАН. Сер. матем. – 2015. – T. 79, № 1. – С. 21–42.Берник, В. И. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах / В. И. Берник, Ф. Гëтце // Изв. РАН. Сер. матем. – 2015. – T. 79, № 1. – С. 21–42.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.