danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-366Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSВЕКТОРНАЯ ЦЕПЬ МАРКОВА С ЧАСТИЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ О ЕЕ ПАРАМЕТРАХVECTOR MARKOV CHAIN WITH PARTIAL CONNECTIONS AND STATISTICAL INFERENCES ON ITS PARAMETERSХаринЮ. С.KharinYu. S.

член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, директор

Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Director

kharin@bsu.byМальцевМ. В.MaltsewM. W.

ст. науч. сотрудник, заведующий лабораторией

Senior researcher, Head of the Research Laboratory

maltsew@bsu.byСологубН. С.SologubN. S.

лаборант

Assistant

nssologub@gmail.comНИИ прикладных проблем математики и информатики Белорусского государственного университетаResearch Institute for Applied Problems of Mathematics and Informatics of the Belarusian State University2016060120176061421Copyright © Харин Ю.С., Мальцев М.В., Сологуб Н.С., 20172017Харин Ю.С., Мальцев М.В., Сологуб Н.С.Kharin Y.S., Maltsew M.W., Sologub N.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/366

Предложена новая малопараметрическая модель дискретных временных рядов – однородная векторная цепь Маркова s-го порядка с частичными связями, для которой условное распределение вероятностей определяется лишь некоторыми компонентами предыдущих векторов-состояний. Установлены вероятностные свойства модели:  критерий эргодичности, условия, при которых стационарное распределение  вероятностей является равномерным. Построены состоятельные статистические оценки параметров модели.

A new mathematical model of discrete time series is proposed. It is called homogenous vector Markov chain of the order s with partial connections. The conditional probability distribution for this model is determined only by a few components of previous vector states. Probabilistic properties of the model are given: ergodicity conditions and conditions under which the stationary probability distribution is uniform. Consistent statistical estimators for model parameters are constructed.

векторная цепь Маркова с частичными связямикритерий эргодичностистатистическое оценивание параметровvector Markov chain with partial connectionsergodicity conditionsstatistical estimation of parametersReferencesКемени, Дж. Г. Конечные цепи Маркова / Дж. Г. Кемени, Дж. Л. Снелл. – М.: Наука, 1970. – 272 с.Kemeni J. G., Snell J. L. Finite Markov chains. Moscow, Nauka, 1970. 272  p. (in Russian)Уотермен, М. С. Математические методы для анализа последовательностей ДНК / М. С. Уотермен. – М.: Мир, 1999. – 350 с.Woterman M. S. Mathematical methods for analysis of DNA sequences. Moscow, Mir, 1999. 350  p. (in Russian)Bonacich, P. Asymptotics of a matrix valued Markov chain arising in sociology / P. Bonacich, T. M. Liggett // Stochastic Processes and their Applications. – 2003. – Vol. 104, Issue 1. – P. 155–171. doi:10.1016/S0304-4149(02)00231-4.Bonacich P., Liggett T. M. Asymptotics of a matrix valued Markov chain arising in sociology. Stochastic Processes and their Applications, 2003, vol. 104, is. 1, pp. 155–171. doi:10.1016/S0304-4149(02)00231-4.Криптология / Ю. С. Харин [и др.]. – Минск: БГУ, 2013. – 512 с.Kharin Yu. S., Agievich S. V., Vasiliev D. V., Matveev G. V. Cryptology. Мinsk, Belarusian State University Publ., 2013. 512  p. (in Russian)Зубков, А. М. Датчики псевдослучайных чисел и их применения / А. М. Зубков // Московский университет и развитие криптографии в России: материалы конф. в МГУ. – М.: МЦНМО, 2003. – С. 200–206.Zubkov A. M. Random data generators and their application. Moskovskii universitet i razvitie kriptografii v Rossii: materialy konferentsii v Moskovskom gosudarstvennom universitete [Moscow State University and the cryptography development in Russia: Proceedings of the Conference at the Moscow State University]. Moscow, Moscow Center for Continuous Mathematical Education Publ., 2003, pp. 200–206. (in Russian)Дуб, Дж. Л. Вероятностные процессы / Дж. Л. Дуб. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. – 605 с.Dub  J. L. Probability processes. Moscow, Foreign Literature Publishing House, 1956. 605  p. (in Russian)Kharin, Yu. Parsimonious models for high-order Markov chains and their statistical analysis / Yu. Kharin // VIII World Congress on Probability and Statistics. – Istanbul: Publ. House of Koc. Univ., 2012. – P. 168–169.Kharin  Yu. Parsimonious models for high-order Markov chains and their statistical analysis. VIII World Congress on Probability and Statistics. Istanbul, Publ. House of Koc. Univ., 2012, pp. 168–169.Харин, Ю. С. Цепи Маркова с r-частичными связями и их статистическое оценивание / Ю. С. Харин // Докл. НАН Беларуси. – 2004. – Т. 48, № 1. – С. 40–44.Kharin Yu. S. Markov chains with the r-partial connections and their statistical estimation. Doklady Nacional’noj akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2004, vol. 48, no. 1, pp. 40–44. (in Russian)Ширяев, А. Н. Вероятность / А. Н. Ширяев. – Изд. 2-е – М.: Наука, 1989. – 640 с.Shiryaev A. N. Probability. 2nd ed. Moscow, Nauka, 1989. 640  p. (in Russian)Харин, Ю. С. Алгоритмы статистического анализа цепей Маркова с условной глубиной памяти / Ю. С. Харин, М. В. Мальцев // Информатика. – 2011. – № 1. – С. 34–43.Kharin Yu. S., Maltsev M. V. Algorithms of statistical analysis of the Markov chains with conditional memory depth. Informatika [Informatics], 2011, no. 1, pp. 34–43. (in Russian)Боровков, А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. – М.: Наука, 1986. – 432 с.Borovkov A. A. The theory of probabilities. Moscow, Nauka, 1986. 432  p. (in Russian)Basawa, I. V. Statistical inference for stochastic processes / I. V. Basawa, B. L. S. Prakasa Rao. – London: Academic Press, 1980. – 438 p.Basawa  I. V., Prakasa Rao B. L. S. Statistical inference for stochastic processes. London, Academic Press, 1980. 438  p.Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. – М.: Мир, 1975. – 648 с.Kramer G. Mathematical methods of statistics. Moscow, Mir, 1975. 648  p. (in Russian)Cawley, G. C. On over-fitting in model selection and subsequent selection bias in performance evaluation / G. C. Cawley, N. L. C. Talbot // The Journal of Machine Learning Research. – 2010. – Vol. 11. – P. 2079–2107.Cawley  G. C., Talbot N. L. C. On over-fitting in model selection and subsequent selection bias in performance evaluation. Journal of Machine Learning Research, 2010, vol. 11, pp. 2079–2107.Csiszar, I. The consistency of the BIC Markov order estimator / I. Csiszar, P. C. Shields // The Annals of Statistics. – 2000. – Vol. 28, N 6. – P. 1601–1619. doi:10.1214/aos/1015957472.Csiszar  I., Shields P. C. The consistency of the BIC Markov order estimator. The Annals of Statistics, 2000, vol. 28,no. 6, pp. 1601–1619. doi:10.1214/aos/1015957472.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.