danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-385Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ ЧЕБЫШЕВА–МАРКОВАABOUT ONE SYSTEM OF THE CHEBYSHEV–MARKOV RATIONAL FRACTIONSРовбаЕ. А.RovbaY. A.

д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой

D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department

rovba.ea@gmail.comПоцейкоП. Г.PotsejkoP. G.

соискатель, старший преподаватель

Postgraduate student, Senior lecturer

pahamatby@gmail.comГродненский государственный университет им. Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno2017020320176112429Copyright © Ровба Е.А., Поцейко П.Г., 20172017Ровба Е.А., Поцейко П.Г.Rovba Y.A., Potsejko P.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/385

Рациональные дроби Чебышева–Маркова обладают рядом замечательных свойств и являются одним из основных и, безусловно, важных элементов в теории приближения функций. Дроби Чебышева–Маркова являются неотъемлемым аппаратом для построения интерполяционных рациональных функций и квадратурных формул. Однако в контексте ортогональных рядов Фурье они не использовались, поскольку в общем случае свойством ортогональности они не обладают.В настоящей работе рассматривается система рациональных дробей Чебышева–Маркова при специальном выборе определяющих ее параметров. В первой части настоящего сообщения проводится построение элементов системы, указываются некоторые их представления и доказывается, что существует вес, при котором исследуемая система является ортогональной на отрезке [–1,   1]. Во второй части работы производится построение интеграла Дирихле. В третьей части найдены в явном виде коэффициенты в разложении в ряд Фурье функции |x| по рассматриваемой системе. В четвертой  исследуется оценка приближения функции |x| посредством частичных сумм ее ряда Фурье. Доказана, в частности, ее точность. В заключительной части получена асимптотическая оценка приближения частичными суммами в целом на отрезке и в случае, когда приближение осуществляется вне особой точки. Найдены точные  константы этих оценок.

The Chebyshev–Markov rational fractions have a number of remarkable properties and are one of the main and, certainly, important elements in the theory of approximation of functions. The Chebyshev–Markov fractions are the integrant apparatus for creation of interpolation rational functions and quadrature formulas. However in the context of the orthogonal Fourier series they are not used as generally they have no property of orthogonality.The present article considers the system of the Chebyshev–Markov rational fractions with a special choice of the parameters for its definition. In the first part of the present article, the elements of the system are created, some of their representations are specified, and it is proved that there is a weight, at which the studied system is orthogonal on a piece [–1, 1]. In the second part of the work, the Dirichlet integral is created. In the third part of the present article, the coefficients of the Fourier series expansion of the function |x| in the considered system are found in explicit form. In the fourth part, the estimate of the function |x| by means of the partial sums of its Fourier series is investigated. In particular, its accuracy is proved. In the closing part, the asymptotic estimate of the approximation by the partial sums on a piece is obtained as a whole and when the approximation is carried out outside a singular point. Precise constants of these estimates are found.

рациональные дроби Чебышева–Марковаортогональностьряды Фурьеинтеграл Дирихлеоценка приближения частичными суммамиасимптотика и метод Лапласаточные константыChebyshev–Markov’s rational fractionsorthogonalityFourier seriesDirichlet integralevaluation of appro- ximation by partial sumsasymptotic and Laplas methodexact constantsReferencesМарков, А. А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля / А. А. Марков. – М.; Л., 1948. – 411 с.Markov A. A. Selected works on the theory of continued fractions and the theory of functions least deviating from zero. Moscow, Leningrad, 1948. 411 p.Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М., 1963. – 1100 с.Gradshtejn I. S., Ryzhyk I. M. Tables of integrals, sums, series and products. Moscow, 1963. 1100 p. (in Russian)Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М.; Л., 1949. – 684 с.Natanson I. P. Constructive theory of functions. Moscow, Leningrad, 1949. 684 p. (in Russian)Евграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции / М. А. Евграфов. – М.: Наука, 1979. – 320 с.Evgrafov M. A. Asymptotic estimates and entire functions. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p. (in Russian)Федорюк, М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды / М. В. Федорюк. – М.: Наука, 1987. – 544 с.Fedorjuk M. V. Asymptotics. Integrals and Series. Moscow, Nauka Publ., 1987. 544 p. (in Russian)Зорич, В. А. Математический анализ / В. А. Зорич. – М.: Наука, 1984. – Ч. II. – 640 с.Zorich V. A. Mathematical analysis. Part II. Moscow, Nauka Publ., 1984. 640 p. (in Russian)Ровба, Е. А. Константы в приближении функции |x| интерполяционными рациональными процессами /Е. А. Ровба, Е. Г. Микулич // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 6. – С. 11–15.Rovba E. A., Mikulich E. G. Constants in the approximation of |x| using the rational interpolation processes. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2009, vol. 53, no. 6, pp. 11–15 (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.