danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-387Research ArticleФИЗИКАPHYSICSМОДЕЛЬ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО МАССИВНОГО ШАРА КАК ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ САМОВЗАИМНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ ДИНАМИКИMODEL OF MASSIVE PULSATING SPHERE AS AN EXACT SOLUTION OF THE HAMILTONIAN SELF RECIPROCAL DYNAMICS EQUATIONSТомильчикЛ. М.TomilchikL. M.

член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор

Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

lmt@dragon.bas-net.byИнститут физики им. Б. И.   Степанова НАН БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus2017020320176113646Copyright © Томильчик Л.М., 20172017Томильчик Л.М.Tomilchik L.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/387

На основе гамильтонова формализма в комплексифицированном расширенном восьмимерном фазовом пространстве построена с учётом предела Гиббонса самовзаимная дважды релятивистская модель одночастичной классической динамики пространственно локализованной гравитирующей массы, численная величина которой, изменяющаяся в конечных пределах, является единственным свободным модельным параметром. Точное сферически симметричное решение модели воспроизводит картину пульсирующего массивного шара, амплитудные радиальные значения в x-, p-� подпространствах расширенного пространства и частота пульсаций определяются численным зна-значением массы, которое универсальным соотношением связано с соответствующим значением действия. Модель имеет корректный ньютонов предел, воспроизводит классический аналог шрёдингеровского дрожания (Zitterbewegung). Еёканоническое квантование позволяет интерпретировать самовзаимный оператор Борна как квантовомеханиче- квантовомеханический оператор, собственные значения которого кратны квадрату массы Планка, и приводит к модели осциллятора Дирака для фермиона с массой Планка

We derive self-reciprocal twice-relativistic model of one-particle classical dynamics of spatially localized gravitating mass on the basis of Hamilton formalism in complexified extended 8-dimensional phase space taking into account Hibbons’ limit. Mass of particle, being varied in a finite interval, is a unique free parameter of the model. Exact spherically-symmetric solution of the model represents a pulsating massive ball with magnitudes of oscillations in x- and p-space and their frequency defined by the mass, that is connected by a universal relation to a corresponding action. The model has correct Newtonian limit and demonstrates classic analog of Schredinger’s Zitterbewegung. Canonic quantization of the model allows interpretation of self-reciprocal Born operator as quantum operator with eigenvalues of multipes of Planck mass squared. It leads to a model of Dirac oscillator for a fermion with Planck mass.

взаимная симметриякомплексная группа Лоренцамаксимальная силарасширенное фазовое пространствоосциллятор Диракаreciprocal symmetrycomplex Lorentz groupmaximal forceextended pase spaceDirac oscillatorReferencesBorn, M. A suggestion for unifying quantum theory and relativity / M. Born // Proc. Roy. Lond. – 1938. – Vol. 165, issue 921. – P. 291–303. doi.org/10.1098/rspa.1938.0060.Born M. A suggestion for unifying quantum theory and relativity. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1938, vol. 165, no. 921, pp. 291–303. doi.org/10.1098/rspa.1938.0060.Born, M. Reciprocity Theory of Elementary Particles / M. Born // Rev. Mod. Phys. – 1949. – Vol. 21, N 3. – P. 463–473. doi.org/10.1103/revmodphys.21.463.Born M. Reciprocity Theory of Elementary Particles. Reviews of Modern Physics, 1949, vol. 21, no. 3, pp. 463–473. doi.org/10.1103/revmodphys.21.463.Low, S. G. Reciprocal relativity of noninertial frames and the quapletic group / S. G. Low // Found. Phys. – 2006. – Vol. 36, N 7. – P. 1036–1069. doi.org/10.1007/s10701-006-9051-2.Low S. G. Reciprocal relativity of noninertial frames and the quapletic group. Foundations of Physics, 2006, vol. 36, no. 7, pp. 1036–1069. doi.org/10.1007/s10701-006-9051-2.Morgan, S. A modern Approach to Born Reciprocity / Stuart Morgan. – University of Tasmania, 2010.Morgan S. A modern Approach to Born Reciprocity. University of Tasmania, 2010.Bolognesi, S. A cosmology of trans-Plankian theory and dark energy / S. Bolognesi // Int. J. Mod. Phys. – 2014. – Vol. 23, N 5. – P. 1450046. doi.org/10.1142/s0218271814500461.Bolognesi S. A cosmology of trans-Plankian theory and dark energy. International Journal of Modern Physics D, 2014, vol. 23, no. 5, pp. 1450046. doi.org/10.1142/s0218271814500461.Bolognesi, S. Born Reciprocity and Cosmic Accelarations / S. Bolognesi // Advances in Dark Energy Research /ed. Miranda L. Ortiz. – NY: Nova Science Publishers Inc., 2015. – P. 56–74; Arxiv: 1506.02187 v.3, hep-th.Bolognesi S. Born Reciprocity and Cosmic Accelarations. Ortiz Miranda L. (ed.) Advances in Dark Energy Research. NY, Nova Science Publishers Inc., 2015, pp. 56–74; Arxiv: 1506.02187 v.3, hep-th.Bars, J. Harmonic Oscillator Revisited / J. Bars // Phys. Rev. – 2009. – Vol. 79, N 4. – P. 045009. doi.org/10.1103/physrevd.79.045009.Bars J. Harmonic Oscillator Revisited. Physical Review D, 2009, vol. 79, no. 4, pp. 045009. doi.org/10.1103/physrevd.79.045009.Kovalski, K. Relativistic massless Harmonic Oscillator / K. Kovalski, J. Rembieliński // Phys. Rev. A. – 2010. – Vol. 81, N 1; Arxiv: 1002.0474. doi.org/10.1103/physreva.81.012118.Kovalski K., Rembieliński J. Relativistic massless Harmonic Oscillator. Physical Review A, 2010, vol. 81, no. 1; Arxiv: 1002.0474. doi.org/10.1103/physreva.81.012118.Gibbons, G. W. The Maximum Tension Principle in General Relativity / G. W. Gibbons // Found. Phys. – 2002. – Vol. 32,N 12. – P. 1891–1901. doi.org/10.1023/a:1022370717626.Gibbons G. W. The Maximum Tension Principle in General Relativity. Foundations of Physics, 2002, vol. 32, no. 12, pp. 1891–1901. doi.org/10.1023/a:1022370717626.Barut, A. O. Complex Lorentz Group with a Real Metric: Group Structure / A. O. Barut // J. Math. Phys. – 1964. – Vol. 5, N 11. – P. 1652–1656. doi.org/10.1063/1.1931202.Barut A. O. Complex Lorentz Group with a Real Metric: Group Structure. Journal of Mathematical Physics, 1964, vol. 5, no. 11, pp. 1652–1656. doi.org/10.1063/1.1931202.Синг, Дж. Классическая динамика / Дж. Л. Синг. – Москва, 1963. – 531 c.Synge J. L. Classical Dynamics. Moscow, 1963. 531 p. (in Russian)Томильчик, Л. М. Взаимная инвариантность, принцип максимального натяжения и комплексная группа Лоренца как симметрия гравитационного взаимодействия / Л. М. Томильчик // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 1. – С. 41–48.Tomilchik L. M. Reciprocal invariant, maximum tension principle, and the Lorentz complex group as the symmetry of gravitational interaction. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2016, vol. 60, no. 1, pp. 41–48. (in Russian)Barrow, John D. Maximal Tension: with and without a cosmological constant / John D. Barrow, G. W. Gibbons // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. – 2014. – Vol. 446, N 4. – P. 3874–3877. doi.org/ 10.1093/mnras/stu2378; Arxiv: 1408.1820 v3, gr – qc. Dec. 2014.Barrow J. D., Gibbons G. W. Maximal Tension: with and without a cosmological constant. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2014, vol. 446, no. 4, pp. 3874–3877. doi.org/ 10.1093/mnras/stu2378; Arxiv: 1408.1820 v3, gr – qc. Dec. 2014.Moshinski, M. The Dirac Oscillator / M. Moshinski, A. Szczepaniak // J. Phys. A. – 1989. – Vol. 22, N 17. – P. L817–L819. doi.org/10.1088/0305-4470/22/17/002.Moshinski M., Szczepaniak A. The Dirac Oscillator. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1989, vol. 22, no. 17, pp. L817–L819. doi.org/10.1088/0305-4470/22/17/002.Quesne, C. Supersymmetry and the Dirac Oscillator / C. Quesne // Int. J. Mod. Phys. A. – 1991. – Vol. 6, N 9. – P. 1567–1589. doi.org/10.1142/s0217751x91000836.Quesne C. Supersymmetry and the Dirac Oscillator. International Journal of Modern Physics A, 1991, vol. 6, no. 9, pp. 1567–1589. doi.org/10.1142/s0217751x91000836.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.