danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-401Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО СОГЛАСОВАННЫХ ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ИХ АППРОКСИМАЦИЙCONSISTENT TWO-SIDED ESTIMATES FOR THE SOLUTIONS OF HOMOGENEOUS QUASI-LINEAR PARABOLIC EQUATIONS AND THEIR APPROXIMATIONSПоляковД. Б.PoliakovD. B.

канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник

Ph. D. (Physics and Mathematics), Researcher

mitia87@gmail.comИнститут математики НАН Беларуси, МинскБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, MinskBelarus2017280420176121317Copyright © Поляков Д.Б., 20172017Поляков Д.Б.Poliakov D.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/401

В настоящей работе для линеаризованной разностной схемы, аппроксимирующей задачу Дирихле для однородного многомерного квазилинейного параболического уравнения с неограниченной нелинейностью установлены поточечные двусторонние оценки решения, согласованные с аналогичными оценками для дифференциальной задачи. Любопытно отметить, что доказанные двусторонние оценки не зависят от величины коэффициента диффузии. Непосредственным применением данных оценок устанавливается сходимость исследуемой разностной схемы в сеточной норме L2 . Приводится пример расчета по схеме Кранка–Никольсона, когда нарушение условий согласованности дифференциальной и разностной оценок приводит к немонотонности численного решения.

 

In this article, for the linearized difference scheme that approximates the Dirichlet problem for the homogeneous multidimensional quasi-linear parabolic equation with unbounded nonlinearity, two-sided point-wise estimates of the solution are established which are fully consistent with the same estimates for the differential problem. It is interesting to note that the proved two-sided estimates do not depend on diffusion coefficient. The direct application of such estimates is the proof of the convergence of the considered difference scheme in the grid norm L2 . An example of the calculation by the Crank–Nicolson difference scheme is given, showing that the violation of the consistency conditions of differential and difference estimates leads to non-monotonic numerical solutions.

принцип максимумадвусторонние оценкимонотонная разностная схемаквазилинейное параболическое уравнениесогласованные оценки решенияmaximum principletwo-side estimatesmonotone finite-difference schemequasi-linear parabolic equationconsistent estimates of the solutionReferencesВладимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. – М.: Наука, 1981. – 512 с.Vladimirov V. S. Equations of mathematical physics. Мoscow, Nauka Publ., 1981. 512 p. (in Russian).Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 656 с.Samarskii A. A. The theory of difference schemes. Мoscow, Nauka Publ., 1989. 656 p. (in Russian).Matus, P. P. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations / P. P. Matus, L. M. Hieu, L. G. Volkov // J. Comput. Appl. Math. – 2017. – Vol. 310. – P. 186–199. doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.006.Matus P. P., Hieu L. M., Volkov L. G. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, vol. 310, pp. 186–199. doi.org/10.1016/j. cam.2016.04.006.Matus, P. On Convergence of Difference Schemes for IBVP for Quasilinear Parabolic Equations with Generalized Solutions // Comp. Meth. Appl. Math. – 2014. – Vol. 14, N 3. – P. 361–371. doi.org/10.1515/cmam-2014-0008.Matus P. On Convergence of Difference Schemes for IBVP for Quasilinear Parabolic Equations with Generalized Solutions. Computational Methods in Applied Mathematics, 2014, vol. 14, no. 3, pp. 361–371. doi.org/10.1515/cmam-2014- 0008.Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. – М.: Наука, 1967. – 736 с.Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural’tseva N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. Мoscow, Nauka Publ., 1967. 736 p. (in Russian).Ладыженская, О. А. Решение первой краевой задачи в целом для квазилинейных параболических уравнений // Тр. Моск. матем. об-ва. – 1958. – Т. 7. – С. 149–177.Ladyzhenskaya O. A. Solution of the first boundary problem in the large for quasi-linear parabolic equations. Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshchestva [Moscow Mathematical Society], 1958, vol. 7, pp. 149–177 (in Russian).Farago, I. Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems / I. Farago, R. Horvath // SIAM J. Sci. Comput. – 2006. – Vol. 28, N 6. – P. 2313–2336. doi.org/10.1137/050627241.Farago I., Horvath R. Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems. SIAM Journal on Scientific Computing, 2006, vol. 28, no. 6, pp. 2313–2336. doi.org/10.1137/050627241

The authors declare that there are no conflicts of interest present.