danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-416Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО МАЛОСТИ НЕПРИВОДИМЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛИНОМОВON THE ORDER OF ZERO APPROXIMATION BY IRREDUCIBLE DIVISORS OF INTEGER POLYNOMIALSКудинА. С.KudinA. S.

канд. физ.-мат. наук, мл. науч. сотрудник

Ph. D. (Physics and Mathematics), Junior researcher

knxd@yandex.ruИнститут математики Национальной академии наук БеларусиБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusBelarus2017090820176131417Copyright © Кудин А.С., 20172017Кудин А.С.Kudin A.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/416

Работа посвящена усилению и обобщению известной леммы из монографии А. О. Гельфонда «Трансцендентные и алгебраические числа» об оценке порядка приближения нуля неприводимым делителем целочисленного полинома.В лемме Гельфонда утверждается, что если полином P(x)∈Z[x] степени не более n и высоты не более Q имеет в некоторой трансцендентной точке x∈Z значение P(x) < Q−w, то при w > 6n найдется делитель P(x), полином d(x)∈Z[x], являющийся степенью неприводимого над полем рациональных чисел целочисленного полинома, для которого справедливо d(x) < Q−w+6n. Лемма Гельфонда и ее аналоги имеют важные приложения во многих проблемах метрической теории диофантовых приближений. Одно из них – р езультат В . И . Б ерника 1 983 г . об оценке сверхуразмерности Хаусдорфа множества действительных чисел с заданной мерой трансцендентности, который вместе с результатом А. Бейкера и В. Шмидта 1970 г. об оценке снизу размерности Хаусдорфа позволил найти ее точное значение.В. И. Берник усилил и обобщил лемму Гельфонда, используя более слабое условие w > 3n и получая б олее сильную оценку d(x) < Q−w+n , а также рассматривая значения полиномов на заданном интервале. Однако область применения данного результата была ограничена из-за достаточно сильных условий на w. В данной работе получена оценка d(x) < Q−w+n−1 на некотором интервале при отсутствии ограничений на w, что усиливает и обобщает лемму Гельфонда и существующие аналогичные результаты. В работе используются методы теории трансцендентных чисел.

In the article we present an improvement to the lemma on the order of zero approximation by irreducible divisors of integer polynomials from A. O. Gelfond’s monograph “Transcendental and algebraic numbers”. The lemma says that if a polynomial P(x)∈Z[x] of degree not exceeding n and of height not exceeding Q satisfies inequality P(x) < Q−w, w > 6n, for some transcendental point x∈Z, then there exists a divisor d(x)∈Z[x] of P(x) that can be written as a degree of some polynomial irreducible over the field of rational numbers satisfying d(x) < Q−w+6n. Gelfond’s lemma and similar results have important applications to many problems of the metric theory of Diophantine approximation. One of such applications is the result of V. Bernik (1983) on the upper bound for the Hausdorff dimension of the set of real numbers with specified order of zero approximation by the values of integer polynomials. This result along with the result of A. Baker and W. Schmidt (1970) on the lower bound of the Hausdorff dimension of the set mentioned above gives the exact formula. In order to prove the upper bound V. Bernik improved and extended Gelfond’s lemma by using a weaker condition w > 3n and obtaining a better estimate d(x) < Q−w+n, as well as by considering the values of polynomials on an interval. However, the condition on w is still restrictive and limits the range of problems this result could be applied to. In our work, we improve the existing results by obtaining the estimate d(x) < Q−w+n−1 on some interval for any w. The result is obtained using the methods of the theory of transcendental numbers.

диофантовы приближенияразмерность Хаусдорфатрансцендентные числарезультантнеприводимый делительлемма ГельфондаDiophantine approximationHausdorff dimensiontranscendental numbersresultantirreducible divisorGelfond’s lemmaReferencesMahler, K. Über das Maß der Menge aller S-Zahlen / K. Mahler // Mathematische Annalen. – 1932. – Vol. 106, N 1. – S. 131–139. doi.org/10.1007/bf01455882Mahler K. Über das Maß der Menge aller S-Zahlen. Mathematische Annalen, 1932, vol. 106, no. 1, ss. 131–139. doi. org/10.1007/bf01455882Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 с.Sprindzhuk V. G. Mahler’s problem in metric number theory. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1967. 184 p. (in Russian).Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. M. Schmidt // Proceedings of the London Mathematical Society. – 1970. – Vol. s3-21, N 1. – P. 1–11. doi.org/10.1112/plms/s3-21.1.1Baker A., Schmidt W. M. Diophantine approximation and Hausdorff dimension. Proceedings of the London Mathematical Society, 1970, vol. s3-21, no. 1, pp. 1–11. doi.org/10.1112/plms/s3-21.1.1Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arithmetica. – 1983. – Т. 42, № 3. – С. 219–253.Bernik V. I. Application of Hausdorff Dimension in the theory of Diophantine Approximation. Acta Arithmetica, 1983, vol. 42, no. 3, pp. 219–253 (in Russian).Гельфонд, А. О. Трансцендентные и алгебраические числа / А. О. Гельфонд. – М.: ГИТТЛ, 1952. – 224 c.Gelfond A. O. Transcendental and algebraic numbers. Moscow, State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1952. 224 p. (in Russian).Бударина, Н. В. Значения неприводимых делителей целочисленных полиномов / Н. В. Бударина, В. И. Берник, Х. О’Доннелл // Весн. Магiлёўскага дзярж. ун-та iмя А. А. Куляшова. Сер. B: Прыродазнаўчыя навукi (матэматыка, фiзiка, бiялогiя). – 2015. – № 2 (46). – С. 17–22.Budarina N. V., Bernik V. I., O’Donnell H. The values of the irreducible divisors of integer polynomials. Vesnik Magileuskaga dziarzhaunaga universiteta imia A. A. Kuliashova. Seryia B: Pryrodaznauchyia navuki (matematyka, fizika, biyalogiya) [Mogilev State A. Ku leshov Bulletin. Series B: Natural sciences (mathematics, physics, biology)], 2015, no. 2(46), pp. 17–22 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.