danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-435Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSТРЕХМЕРНЫЕ НЕРЕДУКТИВНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НЕРАЗРЕШИМЫХ ГРУПП ЛИTHREE-DIMENSIONAL NON-REDUCTIVE HOMOGENEOUS SPACES OF UNSOLVABLE LIE GROUPSМожейН. П.MozheyN. P.

канд. физ.-мат. наук, доцент

Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor

mozheynatalya@mail.ruБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроникиBelarusian State University of Informatics and Radioelectronics2017041020176142025Copyright © Можей Н.П., 20172017Можей Н.П.Mozhey N.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/435

Целью данной работы является классификация трехмерных нередуктивных однородных пространств, допускающих инвариантные аффинные связности, самих связностей, их тензоров кривизны, кручения и алгебр го-лономии. В работе рассматривается случай неразрешимой группы Ли преобразований с неразрешимым стабилизатором. Объектом исследования являются нередуктивные пространства и связности на них. Определены основные понятия: изотропно-точная пара, редуктивное пространство, аффинная связность, тензор кручения, тензор кривизны, алгебра голономии. Приведено в явном виде локальное описание всех трехмерных нередуктивных однородных пространств с неразрешимой группой преобразований и неразрешимым стабилизатором, допускающих инвариантные аффинные связности. Локальная классификация таких пространств эквивалентна описанию соответствующих эффективных пар алгебр Ли. Описаны в явном виде все инвариантные аффинные связности на найденных однородных пространствах, а также тензоры кривизны, кручения, алгебры голономии указанных связностей. Исследования основаны на использовании свойств алгебр Ли, групп Ли и однородных пространств и носят, главным образом, локальный характер. Особенностью методики, представленной в работе, является использование чисто алгебраического подхода к описанию однородных пространств и связностей на них, а также сочетание различных методов дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли и теории однородных пространств. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, а также иметь приложения в различных областях математики и физики, поскольку многие фундаментальные задачи в этих областях связаны с изучением инвариантных объектов на однородных пространствах.

 

 

 

 

The purpose of the work is a description of three-dimensional non-reductive homogeneous spaces that allow invariant affine connections together with their curvature and torsion tensors, holonomy algebras. We are concerned with the case, when Lie group of transformations is unsolvable and a stabilizer is unsolvable too. An object of investigation is concerned with non-reductive spaces and connections on them. The basic notions, such as an isotropically-faithful pair, a reductive space, an affine connection, curvature and torsion tensors, and holonomy algebra are defined. The local description of three-dimensional non-reductive homogeneous spaces with unsolvable Lie group of transformations and an unsolvable stabilizer, which allow affine connections, is given. The local classification of homogeneous spaces is equivalent to the description of the effective pairs of Lie algebras. All invariant affine connections on those spaces are described, curvature and torsion tensors, holonomy algebras are found. Studies are based on the use of properties of Lie algebras and groups, as well as homogeneous spaces and they are mainly local in character.  The features of the methods presented in the work is the application of a purely algebraic approach to the description of homogeneous spaces and connections on them, as well as the combination of methods of differential geometry, the theory of Lie groups and algebras and the theory of homogeneous spaces. The results can be used in the study of manifolds and can find application in various areas of mathematics and physics, since many fundamental problems in these areas relate to the investigation of invariant objects on homogeneous spaces.

аффинная связностьоднородное пространствогруппа преобразованийалгебра Лиредуктивное пространствоaffine connectionhomogeneous spacetransformation groupLie algebrareductive spaceReferencesМожей, Н. П. Трехмерные однородные пространства, не допускающие инвариантных связностей / Н. П. Можей // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2016. – Т. 16, № 4. – С. 413–421.Mozhey N. P. Three-dimensional Homogeneous Spaces, Not Admitting Invariant Connections. The Journal Saratov University News. New Series. Series Mathematics. Mechanics. Informatics, 2016, vol. 16, no. 4, pp. 413–421. doi.org/10.18500/ 1816-9791-2016-16-4-413-421 (in Russian).Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. – М.: Наука, 1981.Kobayashi Sh., Nomizu K. Foundations of differential geometry. New York, Interscience Publishers, 1963. 340 p.Можей, Н. П. Нормальные связности на редуктивных однородных пространствах с неразрешимой группой преобразований / Н. П. Можей // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 6. – С. 28–36.Mozhey N.P. Normal connections on reductive homogeneous spaces with an unsolvable transformation group. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 28–36 (in Russian).Онищик, А. Л. Топология транзитивных групп Ли преобразований / А. Л. Онищик. – М.: Физ.-мат. лит., 1995. – 344 с.Onishchik A. L. Topology of transitive transformation groups. Moscow, Fizmatlit Publishing Company, 1995. 384 p. (in Russian).Nomizu, K. Invariant affine connections on homogeneous spaces / K. Nomizu // Amer. J. Math. – 1954. – Vol. 76, N 1. – P. 33–65. doi.org/10.2307/2372398Nomizu K. Invariant affine connections on homogeneous spaces. American Journal of Mathematics, 1954, vol. 76. no. 1, pp. 33–65. doi.org/10.2307/2372398Можей, Н. П. Трехмерные изотропно-точные однородные пространства и связности на них / Н. П. Можей. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2015. – 394 с.Mozhey N. P. Three-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces and connections on them. Kazan, Publisher University of Kazan, 2015. 394 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.