danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-439Research ArticleФИЗИКАPHYSICSТУННЕЛИРОВАНИЕ ЧЕРЕЗ ГЛАДКИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ДВОЙНОЙ БАРЬЕРTUNNELING THROUGH A SMOOTH PARABOLIC DOUBLE BARRIERБаранА. В.BaranA. V.

канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник

Ph. D. (Physics and Mathematics), Researcher

a.baran@dragon.bas-net.byКудряшовВ. В.KudryashovV. V.

канд. физ.-мат. наук, заместитель заведующего лабораторией

Ph. D. (Physics and Mathematics), Deputy Head of the Laboratory

kudryash@dragon.bas-net.byИнститут физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus2017051020176144651Copyright © Баран А.В., Кудряшов В.В., 20172017Баран А.В., Кудряшов В.В.Baran A.V., Kudryashov V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/439

Дано точное описание туннелирования для гладкого симметричного двойного барьера, который построен с помощью как параболических, так и перевернутых параболических потенциалов. Найдено аналитическое выражение для коэффициента прохождения. Получено условие резонансного туннелирования. Представлена зависимость коэффициента прохождения от энергии налетающей частицы для различных значений параметров двойного барьера. Установлено, что число резонансов растет с увеличением ширины барьеров и расстояния между барьерами. Непрерывные волновые функции выражены через вырожденные гипергеометрические функции. Показаны реальные и мнимые составляющие волновых функций при резонансных значениях энергии. Предложенный параболический потенциал расширяет весьма ограниченный перечень точно решаемых моделей, которые описывают туннелирование через двойные барьеры. Варьируемая форма рассматриваемого двойного барьера дает дополнительные возможности моделирования процессов туннелирования.

 

 

 

 

The exact description of tunneling is given for a smooth symmetric double barrier which is constructed with the help of both parabolic and inverted parabolic potentials. The analytical expression for transmission coefficient is found. The resonant tunneling condition is obtained. The dependence of transmission coefficient on incident particle energy is presented for different values of double barrier parameters. It is established that the number of resonances increases with growing the width of barriers and the distance between barriers. The continuous wave functions are expressed in terms of the confluent hypergeometric functions. The real and imaginary components of wave functions are shown at the resonance values of energy. The proposed smooth parabolic potential extends a very limited list of exactly solvable models that describe tunneling through double barriers. The variable shape of the considered double barrier gives the supplementary possibilities to simulate tunneling processes.

туннелированиепараболический двойной барьеркоэффициент прохожденияtunnelingparabolic double barriertransmission coefficientReferencesChang, L. L. Resonant tunneling in semiconductor double barriers / L. L. Chang, L. Esaki, R. Tsu // Appl. Phys. Lett. – 1974. – Vol. 24, N 12. – P. 593–595. doi.org/10.1063/1.1655067Chang L. L., Esaki L., Tsu R. Resonant tunneling in semiconductor double barriers. Applied Physics Letters, 1974, vol. 24, no. 12, pp. 593–595. doi.org/10.1063/1.1655067Yamamoto, H. Resonant tunneling condition and transmission coefficient in a symmetrical one-dimensional rectangular double-barrier system / H. Yamamoto // Appl. Phys. A. – 1987. – Vol. 42, N 3. – P. 245–248. doi.org/10.1007/ BF00620608Yamamoto H. Resonant tunneling condition and transmission coefficient in a symmetrical one-dimensional rectangular double-barrier system. Applied Physics A, 1987, vol. 42, no. 3, pp. 245–248. doi.org/10.1007/BF00620608Ohmukai, M. Triangular double barrier resonant tunneling / M. Ohmukai // Materials Science and Engineering B. – 2005. – Vol. 116, N 1. – P. 87–90. doi.org/10.1016/j.mseb.2004.09.021Ohmukai M. Triangular double barrier resonant tunneling. Materials Science and Engineering: B, 2005, vol. 116, no. 1, pp. 87–90. doi.org/10.1016/j.mseb.2004.09.021Ihaba, H. Resonant tunneling in double-barrier structures with trapezoidal profiles / H. Inaba, K. Kurosawa, M. Okuda // Japanese J. of Appl. Phys. – 1989. – Vol. 28, Part 1, N 11. – P. 2201–2205. doi.org/10.1143/JJAP.28.2201Ihaba H., Kurosawa K., Okuda M. Resonant tunneling in double-barrier structures with trapezoidal profiles. Japanese Journal of Applied Physics, 1989, vol. 28, part 1, no. 11, pp. 2201–2205. doi.org/10.1143/JJAP.28.2201Dutt, A. Smooth double barriers in quantum mechanics / A. Dutt, S. Karr // Am. J. Phys. – 2010. – Vol. 78, N 12. – P. 1352–1360. doi.org/10.1119/1.3481701Dutt A., Karr S. Smooth double barriers in quantum mechanics. American Journal of Physics, 2010, vol. 78, no. 12, pp. 1352–1360. doi.org/10.1119/1.3481701Kaczmarek, E. Analysis of resonant tunneling for parabolic double barrier structure / E. Kaczmarek // Acta Physica Polonica A. – 1998. – Vol. 94, N 3. – P. 379–382. doi.org/10.12693/APhysPolA.94.379Kaczmarek E. Analysis of resonant tunneling for parabolic double barrier structure. Acta Physica Polonica A, 1998, vol. 94, no. 3, pp. 379–382. doi.org/10.12693/APhysPolA.94.379Bati, M. Electron transport in electrically biased inverse parabolic double-barrier structure / M. Bati, S. Sakiroglu, I. Sokmen // Chin. Phys. B. – 2016. – Vol. 25, N 5. – P. 057307(7). doi.org/10.1088/1674-1056/25/5/057307Bati M., Sakiroglu S., Sokmen I. Electron transport in electrically biased inverse parabolic double-barrier structure. Chinese Physics B, 2016, vol. 25, no. 5, pp. 057307(7). doi.org/10.1088/1674-1056/25/5/057307Кудряшов, В. В. Туннелирование через гладкий параболический барьер конечной высоты / В. В. Кудряшов, А. В. Баран // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 6. – С. 43–47.Kudryashov V. V., Baran A. V. Tunneling through a smooth parabolic barrier of finite height. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 43–47 (in Russian).Abramovitz, M. Handbook of Mathematical Functions / M. Abramovitz, I. A. Stegun (eds). – New York: Dover, 1970. – 1060 p.Abramovitz M., Stegun I. A. (eds). Handbook of Mathematical Functions. New York, Dover, 1970. 1060 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.