danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-450Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСВЯЗНОСТИ НА НЕРЕДУКТИВНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С НЕРАЗРЕШИМОЙ ГРУППОЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЙCONNECTIONS ON NON-REDUCTIVE HOMOGENEOUS SPACES WITH AN UNSOLVABLE GROUP OF TRANSFORMATIONSМожейН. П.MozheyN. P.

канд. физ.-мат. наук, доцент

ул. П. Бровки, 6, 220013

Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor

6, P. Brovka Str., 220013

mozheynatalya@mail.ruБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, МинскBelarusian State University of Informatics and Radioelectronics, Minsk201717122017615715Copyright © Можей Н.П., 20172017Можей Н.П.Mozhey N.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/450

В каком случае однородное пространство допускает инвариантную аффинную связность? Если существует хотя бы одна инвариантная связность, то пространство является изотропно-точным, но обратное неверно. Если однородное пространство является редуктивным, то пространство всегда допускает инвариантную связность. Целью данной работы является описание инвариантных аффинных связностей на трехмерных нередуктивных однородных пространствах, их тензоров кривизны и кручения, алгебр голономии. В работе рассматривается случай неразрешимой группы Ли преобразований с разрешимым стабилизатором. Определены основные понятия: изотропно-точная пара, редуктивное пространство, аффинная связность, тензор кручения, тензор кривизны, алгебра голономии. Приведено в явном виде локальное описание всех трехмерных нередуктивных однородных пространств с неразрешимой группой преобразований и разрешимым стабилизатором, допускающих инвариантные аффинные связности. Локальная классификация таких пространств эквивалентна описанию соответствующих эффективных пар алгебр Ли. Описаны в явном виде все инвариантные аффинные связности на найденных однородных пространствах, а также тензоры кривизны, кручения, алгебры голономии указанных связностей. Исследования основаны на использовании свойств алгебр Ли, групп Ли и однородных пространств и носят, главным образом, локальный характер. Особенностью методики, представленной в работе, является использование чисто алгебраического подхода к описанию однородных пространств и связностей на них, а также сочетание различных методов дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли и теории однородных пространств. 

When does a homogeneous space allow an invariant affine connection? If at least one invariant connection exists, then the space is isotropy-faithful, but the isotropy-faithfulness is insufficient for the space in order to have invariant connections. If a homogeneous space is reductive, then the space allows an invariant connection. The purpose of the work is to describe invariant affine connections on three-dimensional non-reductive homogeneous spaces together with their curvature and torsion tensors, holonomy algebras. We concerned the case, when the Lie group of transformations is unsolvable and a stabilizer is solvable. The basic notions, such as an isotropy-faithful pair, a reductive space, an affine connection, curvature and torsion tensors, holonomy algebra are defined. A local description of three-dimensional non-reductive homogeneous spaces with an unsolvable Lie group of transformations and a solvable stabilizer, allowing affine connections, is given. A local classification of homogeneous spaces is equivalent to that of the effective pairs of the Lie algebras. All invariant affine connections on those spaces are described, curvature and torsion tensors, holonomy algebras are found. Studies are based on the use of properties of the Lie algebras, Lie groups and homogeneous spaces. They are mainly local in character. 

аффинная связностьоднородное пространствогруппа преобразованийалгебра Лиредуктивное пространствоaffine connectionhomogeneous spacetransformation groupLie algebrareductive spaceАвтор выражает искреннюю благодарность своему учителю Борису Петровичу Комракову за постановку задачи и полезные замечания.The author is grateful to his teacher Boris Petrovich Komrakov for posing the problem and for useful remarks.ReferencesКобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. – М.: Наука, 1981.Kobayashi Sh., Nomizu K. Foundations of differential geometry. New York, Interscience Publishers, 1963. 340 p.Можей, Н. П. Трехмерные редуктивные пространства неразрешимых групп Ли / Н. П. Можей // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 61, № 1. – С. 7–17.Mozhey N. P. Three-dimensional reductive homogeneous spaces of unsolvable Lie groups. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 61, no. 1, pp. 7–17. (in Russian).Онищик, А. Л. Топология транзитивных групп Ли преобразований / А. Л. Онищик. – М.: Физ.-мат. лит., 1995. – 344 с.Onishchik A. L. Topology of transitive transformation groups. Moscow, Fizmatlit Publishing Company, 1995. 384 p. (in Russian).Nomizu, K. Invariant affine connections on homogeneous spaces / K. Nomizu // Amer. J. Math. – 1954. – Vol. 76, N 1. – P. 33–65. doi.org/10.2307/2372398Nomizu K. Invariant affine connections on homogeneous spaces. American Journal of Mathematics, 1954, vol. 76, no. 1, pp. 33–65. doi.org/10.2307/2372398Можей, Н. П. Трехмерные изотропно-точные однородные пространства и связности на них / Н. П. Можей. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2015. – 394 с.Mozhey N. P. Three-dimensional isotropically-faithful homogeneous spaces and connections on them. Kazan, Publisher University of Kazan, 2015. 394 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.