danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-469Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА– ГОРДОНА–ФОКА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИCLASSICAL SOLUTION of THE MIXED PROBLEM FOR THE KLEIN–GORDON–FOCK EQUATION WITH NONLOCAL CONDITIONSКорзюкВ. И.KorzyukViktor I.

академик, д-р физ.-мат. наук, профессор

ул. Сурганова, 11, 220072

Academician, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072

korzyuk@bsu.byСтолярчукИ. И.StolyarchukIvan I.

магистр физико-математических наук, аспирант

пр. Независимости, 4, 220030

Master of Physics and Mathematics, Postgraduate student

4, Nezavisimosti Ave., 220030

ivan.telkontar@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, MinskБелорусский государственный университет, МинскBelarusian State University, Minsk2017210120186162027Copyright © Корзюк В.И., Столярчук И.И., 20182018Корзюк В.И., Столярчук И.И.Korzyuk V.I., Stolyarchuk I.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/469

Для одномерного уравнения Клейна–Гордона–Фока рассматривается смешанная задача с двумя нелокальными условиями в полуполосе. Решение данной задачи сводится к решению систем интегральных уравнений Вольтерры второго рода, для которых справедливы условия существования единственного решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости начальных данных. При заданных условиях гладкости на начальные данные доказана необходимость и достаточность выполнения условий согласования для существования единственного гладкого решения поставленной задачи. При анализе задачи используется метод характеристик, который сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в которых строятся решения подзадач с помощью начальных и нелокальных условий. Полученные решения потом склеиваются в общих точках и данные условия склейки и дают условия согласования.

Названный подход позволяет построить как аналитическое решение, в случае если удается в явном виде найти решения систем интегральных уравнений, так и приближенное решение. Причем приближенное решение может быть найдено как в численном виде, так и в аналитическом. При этом для поиска численного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при построении численных методов решения задачи. 

The mixed problem for the one-dimensional Klein–Gordon–Fock equation with nonlocal conditions in a halfstrip is considered. Solving this problem reduces to solving the systems of the second-type Volterra equations. The theorems of existence and uniqueness of a solution in the class of twice continuously differentiable functions were proved for these equations, when initial functions are smooth enough. It is proved that fulfillment of the matching conditions for given functions is necessary and sufficient for the existence of a unique smooth solution when initial functions are smooth enough. The method of characteristics is used for the problem analysis. This method reduces to splitting the original area of the definition into subdomains. The solution of the subproblem can be constructed with in each subdomain, the help of the initial and nonlocal conditions. The obtained solutions are then glued at common points, and these gluing conditions are the matching conditions.

This approach can be used in constructing both an analytical solution, when the solution of the systems of integral equations can be found explicitly, and an approximate solution. Moreover, approximate solutions can be constructed numerically and analytically. When the numerical solution is constructed, matching conditions are essential and need to be considered while developing numerical methods. 

уравнение Клейна–Гордона–Фокаметод характеристикинтегральное условиеклассическое решениесмешанная задачанелокальное условиеусловия согласованияKlein–Gordon–Fock equationcharacteristics methodintegral conditionsclassical solutionmixed problemnonlocal conditionsmatching conditionsReferencesГордезиани, Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили // Матем. моделирование. – 2000. – Т. 12, № 1. – С. 94–103.Gordeziani D. G., Avalishvili G. A. On the constructing of solution of the nonlocal initial boundary value problems for one-dimensional medium oscillation equations. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 2000, vol. 12, no. 11, pp. 94–103 (in Russian).Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике / Л. С. Пулькина, О. М. Кечина // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2005. – № 2(36). – С. 1–9.Pulkina L. S., Kechina O. M. Nonlocal problem for the hyperbolic equation with integral conditions in characteristics rectangle. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvenno-Nauchnaya seriya = Vestnik of Samara University. Natural science series, 2005, no. 2(36), pp. 1–9 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна–Гордона–Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференциальные уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – С. 1108–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the Klein–Gordon–Fock equation in half-strip. Differential equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098–1111. doi.org/10.1134/s0012266114080084Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для волнового уравнения с интегральным условием / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 6. – С. 22–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the wave equation with the integral conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 22–27 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.