danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2018-62-3-263-267dan-516Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО СИЛЬНО НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКАSTRONGLY IRREGULAR PERIODIC SOLUTIONS OF THE FIRST-ORDER LINEAR HOMOGENEOUS DISCRETE EQUATIONДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – д-р физ.-мат. наук, доцент, вед. науч. сотрудник.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск.

Demenchuk Aleksandr Konstantinovich – D. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Leading Researcher. 

11, Surganov Str., 220072, Minsk.

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук Беларуси.Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Belarus.201828062018623263267Copyright © Деменчук А.К., 20182018Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/516

 В 1950 г. Х. Массера доказал, что скалярное периодическое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, т. е. таких, что период решения несоизмерим с периодом уравнения. Для разностных уравнений с дискретным временем сильная нерегулярность означает, что период уравнения является взаимно простым по отношеню к периоду его решения. Известно, что в случае дискретных уравнений упомянутый результат Х. Массеры полного аналога не имеет.

Цель работы – исследовать возможность реализации аналога теоремы Х. Массеры для некоторых классов разностных уравнений. Для этого рассматривается класс линейных разностных уравнений. Доказано, что линейное однородное нестационарное периодическое дискретное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, отличных от постоянных.

 In 1950 J. Massera proved that a fi rst-order scalar periodic ordinary differential equation has no strongly ira proved that a first-order scalar periodic ordinary differential equation has no strongly irregular periodic solutions, that is, such solutions whose period of solution is incommensurable with the period of equation. For difference equations with discrete time, strong irregularity means that the period of the equation and the period of its solution are relatively prime numbers. It is known that in the case of discrete equations, the above result of J. Massera has no complete analog.

The purpose of this article is to investigate the possibility to realize Massera’s theorem for certain classes of difference equations. To do this, we consider the class of linear difference equations. It is proved that a first-order linear homogeneous non-stationary periodic discrete equation has no strongly irregular non-stationary periodic solutions.

периодические разностные уравненияпериодические последовательностисильно нерегулярные периодические решенияdifference periodic equationsperiodic sequencesstrongly irregular periodic solutionsReferencesAgarwal, R. P. Difference Equations and Inequalities. Theory, Methods and Applications / R. P. Agarwal. – New York: Marcel Dekker, Inc., 1992. – 777 p.Agarwal R. P. Difference Equations and Inequalities. Theory, Methods and Applications. New York, Marcel Dekker, Inc., 1992. 777 p.Agarwal, R. P. Periodic Solutions of First Order Linear Difference Equations / R. F. Agarwal, J. Popenda // Mathl. Comput. Modelling. – 1995. – Vol. 22, N 1. – P. 11–19. https://doi.org/10.1016/0895-7177(95)00096-kAgarwal R. P., Popenda J. Periodic Solutions of First Order Linear Difference Equations. Mathematical and Computer Modelling, 1995, vol. 22, no. 1, pp. 11–19. https://doi.org/10.1016/0895-7177(95)00096-kJanglajew, K. R. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations / K. R. Janglajew, E. L. Schmeidel // Advances in Difference Equations. – 2012. – Vol. 2012, N 1. – P. 195. https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-195Janglajew K. R., Schmeidel E. L. Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations. Advances in Difference Equations, 2012, vol. 2012, no. 1, pp. 195. https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-195Elaydi, S. An Introduction to Difference Equations / S. Elaydi. – Third Ed. – Springer, 2005. – 540 p.Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. Third Ed. Springer, 2005. 540 p.Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bol. de la Facultad de Ingenieria, Montevideo. – 1950. – Vol. 4, N 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Bolеtin de la Facultad de Ingenieria y agrimensura de Montevideo, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45 (in Spanish).Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехосл. матем. журн. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370.Kurzweil J., Veivoda O. On periodic and almost periodic solutions of the ordinary differential systems. Chekhoslovatskii matematicheskii zhurnal = Czechoslovak mathematical journal, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian).Еругин, Н. П. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н. П. Еругин. – Минск: Изд-во Акад. наук БССР, 1963. – 272 с.Erugin N. P. Linear Systems of Ordinary Differential Equations with Periodic and Quasiperiodic Coefficients. Minsk, Publishing house of the Academy of Sciences BSSR, 1963. 272 p. (in Russian).Деменчук, А. К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления / А. К. Деменчук. – Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2012. – 186 c.Demenchuk А. K. Asynchronous oscillations in differential systems. Conditions of existence and control. Saarbrucken, LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 186 p. (in Russian).Ласунский, А. В. О периоде решений дискретного периодического логистического уравнения / А. В. Ласунский // Тр. Карельского научного центра РАН. – 2012. – № 5. – С. 44–48.Lasunskii А. V. On the period of solutions of the discrete periodic logistic equation. Trudy Karelskogo nauchnogo centra Rossiiskoi akademii nauk = Transactions of Karelian research centre of Russian Academy of Science, 2012, no. 5, pp. 44–48 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.