danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2018-62-3-274-280dan-518Research ArticleФИЗИКАPHYSICSРЕШЕНИЯ ФРОБЕНИУСА И АНАЛИЗ ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2 В ПОЛЕ ШВАРЦШИЛЬДАFROBENIUS’ SOLUTIONS AND THE ANALYSIS OF THE TUNNELING EFFECT FOR SPIN 1/2 PARTICLE THROUGH THE SCHWARZSCHILD BARRIERОвсиюкЕ. М.OvsiyukE. M.

Овсиюк Елена Михайловна – канд. физ.-мат. наук, доцент. 

ул. Студенческая, 28, 247760, Мозырь.

Ovsiyuk Elena Mikhailovna – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor. 

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr.

e.ovsiyuk@mail.ruВойноваЯ. А.VoynovaYa. A.

Войнова Янина Александровна – учитель. 

ул. М. Богдановича, 29, 220029, Минск.

Voynova Yanina Aleksandrovna – Physics teacher. 

29, Bogdanovich Str., 220029, Minsk.

voinyuschka@mail.ruРедьковВ. М.Red’kovV. M.

Редьков Виктор Михайлович – д-р физ.-мат. наук, гл. науч. сотрудник. 

пр. Независимости, 68-2, 220072, Минск.

Red’kov Viktor Mikhailovich – D. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher.  

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk.

redkov@dragon.bas-net.byМозырский государственный педагогический университет им. И. П. Шамякина.Mozyr State Pedagogical University named after I. P. Shamyakin.Минское суворовское военное училище.Minsk Suvorov Military School.Институт физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук Беларуси.B. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus.201828062018623274280Copyright © Овсиюк Е.М., Войнова Я.А., Редьков В.М., 20182018Овсиюк Е.М., Войнова Я.А., Редьков В.М.Ovsiyuk E.M., Voynova Y.A., Red’kov V.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/518

Выполнено исследование эффекта туннелирования дираковских частиц через эффективный потенциальный барьер, порождаемый статической метрикой черной дыры Шварцшильда. Исследование основано на использовании решений Фробениуса возникающего дифференциального уравнения второго порядка с тремя регулярными особыми точками и двумя нерегулярными точками ранга 2. Решения радиального уравнения построены в явном виде, показана сходимость вовлеченных в них степенных рядов во всей физической области изменения переменной: от радиуса Шварцшильда до бесконечности. Результаты анализа процесса туннелирования существенно зависят от того, с какой стороны частицы падают на барьер: слева или справа от барьера. Математическая структура полученных асимптотических формул является точной, однако неизвестны аналитические выражения для сумм входящих в эти формулы степенных рядов. Эта часть исследования должна базироваться на численном суммировании рядов.

For a Dirac particle, the general mathematical study of the particle tunneling process through an effective potential barrier generated by the Schwarzschild black hole background is done. The study is based on the use of 8 Frobenius’ solutions of the related second-order differential equation with 3 regular and 2 irregular singularities of the rank 2. Solutions of the radial equations are constructed in explicit form, and the convergence of the involved power series is proved in the physical range f the variable (1, ). r∈ +∞ Results for the tunneling effect are significantly different for two situations: one when the particle falls on the barrier from the inside and another when the particle falls from the outside. The mathematical structure of the derived asymptotic relations is exact, however the analytical expressions for the involved convergent powers series are unknown, and a further study of penetration and reflection coefficients should be based on the numerical summation of the power series.

частица Диракачерная дыра Шварцшильдасингулярностирешения ФробениусатуннелированиеDirac particleSchwarzschild black holesingularitiesFrobenius solutionstunneling effectReferencesRegge, T. Stability of a Schwarzschild Singularity / T. Regge, J. A. Wheeler // Physical Review. – 1957. – Vol. 108, N 4. – P. 1063–1069. https://doi.org/10.1103/physrev.108.1063Regge T., Wheeler J. A. Stability of a Schwarzschild Singularity. Physical Review, 1957, vol. 108, no. 4, pp. 1063–1069. https://doi.org/10.1103/physrev.108.1063Schwarzschild, K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / K. Schwarzschild // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. – Sitzung vom 3. Februar 1916. – S. 189–196.Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. Sitzung vom 3. Februar 1916. pp. 189–196 (in German).Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes / S. Chandrasekhar // General Relativity and Gravitation. – Oxford: Oxford University Press, 1983. – 646 p.Chandrasekhar S. The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford, Oxford University Press, 1983. 646 p.Smoller, J. Asymptotic Behavior of Massless Dirac Waves in Schwarzschild Geometry / J. Smoller, Chunjing Xie // Annales Henri Poincare. – 2012. – Vol. 13, N 4. – P. 943–989. https://doi.org/10.1007/s00023-011-0145-9Smoller J., Xie Chunjing. Asymptotic Behavior of Massless Dirac Waves in Schwarzschild Geometry. Annales Henri Poincare, 2012, vol. 13, no. 4, pp. 943–989. https://doi.org/10.1007/s00023-011-0145-9To Analysis of the Dirac and Majorana Particle Solutions in Schwarzschild Field / E. M. Ovsiyuk [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex System. – 2017. – Vol. 20, N 1. – P. 56–72.Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Rusak Yu. A., Chichurin A. V., Red’kov V. M. To Analysis of the Dirac and Majorana Particle Solutions in Schwarzschild Field. Nonlinear Phenomena in Complex System, 2017, vol. 20, no 1, pp. 56–72.Редьков, В. М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца / В. М. Редьков. – Минск: Белорусская наука, 2009. – 486 с.Red’kov V. M. Field particles in Riemannian space and the Lorentz group. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2009. 496 p. (in Russian).Редьков, В. М. Тетрадный формализм, сферическая симметрия и базис Шредингера / В. М. Редьков. – Минск: Белорусская наука, 2011. – 339 с.Red’kov V. M. Tetrad formalism, spherical symmetry and Schrödinger basis. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2011. 496 p. (in Russian).Ronveaux, A. Heun’s Differential Equations / A. Ronveaux. – Oxford: Oxford Univ. Press, 1995. – 354 p.Ronveaux A. Heun’s Differential Equations. Oxford, Oxford University Press, 1995. 354 p.Slavyanov, S. Yu. Special functions. A unified theory based on singularities / S. Yu. Slavyanov, W. Lay. – Oxford: Oxford Univ. Press, 2000. – 312 p.Slavyanov S. Yu., Lay W. Special functions. A unified theory based on singularities. Oxford, Oxford University Press, 2000. 312 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.