danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2018-62-4-391-397dan-532Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ РИМАНА–ЛИУВИЛЛЯSOLVABILITY OF THE CAUCHY PROBLEM FOR EQUATIONS WITH RIEMANN–LIOUVILLE’S FRACTIONAL DERIVATIVESЗабрейкоП. П.ZabreikoPetr P.

Забрейко Петр Петрович – доктор физ.-мат. наук, профессор

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Zabreiko Petr Petrovich – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

zabreiko@mail.ruПономареваС. В.PonomarevaSvetlana V.

Пономарева Светлана Владимировна – канд. физ.- мат. наук, доцент

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Ponomareva Svetlana Vladimirovna – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

demyanko@bsu.byБелорусский государственный университетBelarusian State University201812092018624391397Copyright © Забрейко П.П., Пономарева С.В., 20182018Забрейко П.П., Пономарева С.В.Zabreiko P.P., Ponomareva S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/532

Изучается вопрос о разрешимости аналога задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана–Лиувилля с нелинейным ограничением на правую часть в определенных пространствах функций. Приводятся условия разрешимости рассматриваемой задачи в данных функциональных пространствах, а также условия существования единственного решения. При исследовании используются метод сведения задачи к уравнению Вольтерра второго рода, принцип Шаудера неподвижной точки в банаховом пространстве и принцип Банаха–Каччиопполи неподвижной точки в полном метрическом пространстве.

In this article we study the solvability of the analogue of the Cauchy problem for ordinary differential equations with Riemann–Liouville’s fractional derivatives with a nonlinear restriction on the right-hand side of functions in certain spaces. The conditions for solvability of the problem under consideration in given function spaces, as well as the conditions for existence of a unique solution are given. The study uses the method of reducing the problem to the second-kind Volterra equation, the Schauder principle of a fixed point in a Banach space, and the Banach-Cachoppoli principle of a fixed point in a complete metric space.

задача Кошидробная производная Римана–Лиувилляпринцип ШаудераCauchy problemfractional Riemann–Liouville derivativeSchauder principleReferencesКилбас, А. А. Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка / А. А. Килбас. – Самара, 2009. – 121 с.Kilbas A. A. Theory and applications of fractional differential equations. Samara, 2009. 121 p. (in Russian).Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М. А. Красносельский [и др.]. – Москва: Наука, 1966. – 500 с.Krasnosel’skiy M. A., Zabreyko P. P., Pustyl’nik Ye. I., Sobolevskiy P. Ye. Integral operators in spaces of summable functions. Moscow, Nauka Publ., 1966. 500 p. (in Russian).Интегральные уравнения / П. П. Забрейко [и др.]. – Москва: Наука, 1968. – 448 с.Zabreyko P. P., Koshelev A. I., Krasnosel’skiy M. A., Mikhlin S. G., Rakovshchik L. S., Stetsenko V. Ya. Integral equations. Moscow, Nauka Publ., 1968. 448 p. (in Russian).Забрейко, П. П. Об интегральных операторах Вольтерра / П. П. Забрейко // Успехи мат. наук. – 1967. – T. 22, вып. 1. – С. 167–168.Zabreyko P. P. Volterra integral operators. Uspekhi matematicheskikh nauk = Russian Mathematical Surveys, 1967, vol. 22, no. 1, pp. 167–168 (in Russian).Забрейко, П. П. О спектральном радиусе интегральных операторов Вольтерра / П. П. Забрейко // Литовский мат. сб. – 1967. – № 2. – С. 281–287.Zabreyko P. P. On the spectral radius of Volterra integral operators. Litovskii matematicheskii sbornik = The Lithuanian Mathematical Collection, 1967, no. 2, pp. 281–287 (in Russian).Баркова, Е. А. Задача Коши для дифференциальных уравнений дробных порядков с ухудшающими правыми частями / Е. А. Баркова, П. П. Забрейко // Дифференц. уравнения. – 2006. – Т. 42, № 8. – С. 1132–1134.Barkova E. A., Zabreiko P. P. The Cauchy problem for fractional differential equations with worsening right-hand sides. Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 8, pp. 1199–1202. https://doi.org/10.1134/s0012266106080143

The authors declare that there are no conflicts of interest present.