danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2018-62-4-398-405dan-533Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSАСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ БРОУНОВСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИASYMPTOTIC EXPANSIONS OF SOLUTIONS OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS DRIVEN BY MULTIVARIATE FRACTIONAL BROWNIAN MOTIONSВаськовскийМ. М.VaskouskiMaxim M.

Васьковский Максим Михайлович – канд. физ.-мат. наук, доцент

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Vaskouski Maxim Mikhailovich – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate professor

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

vaskovskii@bsu.byКачанИ. В.KachanIlya V.

Качан Илья Вадимович – магистрант, ассистент кафедры

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Kachan Ilya Vadimovich – Undergraduate, Assistant of the Department

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

ilyakachan@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University201812092018624398405Copyright © Васьковский М.М., Качан И.В., 20182018Васьковский М.М., Качан И.В.Vaskouski M.M., Kachan I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/533

Рассматриваются n-мерные стохастические дифференциальные уравнения с дробными броуновскими движениями, имеющими различные индексы Харста, большие 1/3, и сносом. Получены асимптотические разложения математических ожиданий вида Ptg (x) = Eg (Xxt) для достаточно малых t, где через Xxt обозначается решение указанного уравнения с начальным значением x, а g: Rn → R – достаточно гладкая функция.

In this article, n-dimensional stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions with the Hurst indices greater than 1/3 and a drift term are considered. We have obtained an expansion of expectations Ptg (x) = Eg (Xxt) for small t, where Xxt denotes the solution of the mentioned equation with an initial value x, and g: Rn → R is a sufficiently smooth function.

дробное броуновское движениепотраекторный интегралпроизводная Губинеллистохастическое дифференциальное уравнениеасимптотическое разложениеmultivariate fractional Brownian motionrough paths theoryGubinelli’s derivativestochastic differential equationasymptotic expansionsReferencesBaudoin, F. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional Brownian motions / F. Baudoin, L. Coutin // Stochastic Processes and their Applications. – 2007. – Vol. 117, N 5. – P. 550–574. https://doi. org/10.1016/j.spa.2006.09.004Baudoin F., Coutin L. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional Brownian motions. Stochastic Processes and their Applications, 2007, vol. 117, no. 5, pp. 550–574. https://doi.org/10.1016/j. spa.2006.09.004Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic differential equations / A. Neuenkirch [et al.] // Annales de l’Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques. – 2009. – Vol. 45, N 1. – P. 157–174. https://doi.org/10.1214/07-aihp159Neuenkirch A., Nourdin I., Rößler A., Tindel S. Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic differential equations. Annales de l’Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques, 2009, vol. 45, no. 1, pp. 157–174. https://doi. org/10.1214/07-aihp159Friz, P. A Course on Rough Paths with an introduction to regularity structures / P. Friz, M. Hairer. – Springer, 2014. – 263 p.Friz P., Hairer M. A Course on Rough Paths with an introduction to regularity structures. Springer International Publishing Switzerland, 2014. 263 p.Gubinelli, M. Controlling rough paths / M. Gubinelli / J. Funct. Anal. – 2004. – Vol. 216, N 1. – P. 86–140. https://doi. org/10.1016/j.jfa.2004.01.002Gubinelli M. Controlling rough paths. Journal of Functional Analysis, 2004, vol. 216, no. 1, pp. 86–140. https://doi. org/10.1016/j.jfa.2004.01.002Васьковский, М. М. Аналог формулы Ито для стохастических дифференциальных уравнений с дробными броуновскими движениями, имеющими различные индексы Харста, большие 1/3 / М. М. Васьковский, И. В. Качан // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем. – Пенза, 2017. – C. 12–16.Vaskouski M. M., Kachan I. V. An analogue of the Ito formula for stochastic differential equations with fractional Brownian motions having different Hurst indices greater than 1/3. Analiticheskie i chislennye metody modelirovaniya estestvenno-nauchnykh i sotsial’nykh problem [Analytical and numerical methods of modeling of natural-scientific and social problems]. Penza, 2017, pp. 12–16 (in Russian).Nualart, D. Differential equations driven by fractial Brownian motion / D. Nualart, A. Rascanu // Collectanea Mathematica. – 2002. – Vol. 53, N 1. – P. 55–81.Nualart D., Rascanu A. Differential equations driven by fractional Brownian motion. Collectanea Mathematica, 2002, vol. 53, no. 1, pp. 55–81.Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения / А. А. Леваков. – Минск: БГУ, 2009. – 231 с.Levakov A. A. Stochastic Differential Equations. Minsk, Belarusian State University, 2009. 231 p. (in Russian) .Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль; пер. c англ. – М.: Мир, 2003. – 408 с.Oksendal B. Stochastic differential equations. An introduction with applications. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 2003. 379 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.