danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2018-62-5-531-539dan-549Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКлассическое решение смешанных задач для уравнения типа Клейна–Гордона–Фока с косыми производными в граничных условияхClassical solution to the mixed problems for the Klein–Gordon–Fock-type equation with curve derivatives in boundary conditionsКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович – академик, доктор физико-математических наук, профессор.

Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Korzyuk Viktor Ivanovich – Academician, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

korzyuk@bsu.byСтолярчукИ. И.StolyarchukI. I.

Столярчук Иван Игоревич – магистр физ.-мат. наук, аспирант.

Пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Stolyarchuk Ivan Igorevich – Master of Physics and Mathematics, Postgraduate student.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

ivan.telkontar@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University201829102018625531539Copyright © Корзюк В.И., Столярчук И.И., 20182018Корзюк В.И., Столярчук И.И.Korzyuk V.I., Stolyarchuk I.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/549

В данной работе рассматривается смешанная задача для уравнения типа Клейна–Гордона–Фока в полуполосе с косыми производными в граничных условиях. При решении данной задачи возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости данных. С помощью метода характеристик показывается, что для гладкости решения исходной задачи необходимо и достаточно выполнения условий согласования заданных функций при их достаточной гладкости. Метод характеристик сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в каждой из которых строятся решения подзадач с использованием начальных и граничных условий. Полученные решения затем склеиваются в общих точках, порождая условия склейки, которые и являются условиями согласования.

Данный подход позволяет строить как точные решения, так и приближенные. Точные решения могут быть найдены в том случае, если удается разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. При этом при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи.

The mixed problem for one-dimensional Klein–Gordon–Fock-type equation with curve derivatives in boundary conditions is considered in half-strip. The solution of this problem is reduced to solving the second type Volterra integral equations. Theorems of existence and uniqueness of the solution in the class of the twice continuously differentiable functions were proven for these equations when initial functions are smooth enough. It is proven that fulfillment of the matching conditions on the given functions is necessary and sufficient for the existence of the unique smooth solution when initial functions are smooth enough. The method of characteristics is used for the problem analysis.

This method is reduced to the splitting the original area of the definition to the subdomains. The solution of the subproblem can be constructed in each subdomain with the help of the initial and boundary conditions. Then obtained solutions are glued in common points, and received glued conditions are the matching conditions. This approach can be used in constructing as analytical solution, in case when solution of the integral equation can be found in explicit way, so for approximate solution. Moreover, approximate solutions can be constructed in numerical and analytical form. When numeric solution is constructed, then matching conditions are essential and they need to be considered while developing numerical methods.

уравнение Клейна–Гордона–Фокаметод характеристиккосые производныеклассическое решениесмешанная задачаусловия согласованияKlein–Gordon–Fock-type equationcharacteristics methodcurve derivativesclassical solutionmixed problemmatching conditionsReferencesБарановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференциальные уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Baranovskaya S. N., Yurchuk N. I. Mixed problem for the string vibration equation with a time-dependent oblique derivative in the boundary condition. Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 8, pp. 1212-1215. https://doi.org/10.1134/s0012266109080126Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для волнового уравнения с интегральным условием / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 6. – С. 22–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the wave equation with the integral condition. Doklady Natsional ’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 22-27 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна–Гордона–Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференциальные уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – С. 1105–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation in a half-strip. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098-1111. https://doi.org/10.1134/s0012266114080084Михлин, С. Г. Курс математической физики / С. Г. Михлин. – Москва: Наука, 1968. – 576 с.Mikhlin S. G. Course of mathematical physics. Moscow, Nauka Publ., 1968. 576 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна–Гордона–Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 56–72.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation with the nonlocal conditions. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018, vol. 26, no. 1, pp. 52-72 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна–Гордона–Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 61, № 6. – С. 20–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation with nonlocal conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 61, no. 6, pp. 20-27 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.