danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2019-63-2-150-156dan-596Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО рациональных решениях двух дифференциальных уравнений с подвижной особой линиейOn rational solutions of two differential equations with а moving singular lineЧжанБиньбиньZhangBin-­Bin

Чжан Биньбинь - аспирант. 

ул. Ожешко, 22, 230020, Гродно.

Zhang Bin-bin - Postgraduate student. 

22, Ozheshko Str., 230020, Grodno.

binbinzhanghkj@163.comЧэньЯнChenYang

Чэнь Ян - аспирант. 

ул. Ожешко, 22, 230020, Гродно.

Chen Yang - Postgraduate student. 

22, Ozheshko Str., 230020, Grodno.

578211973@g.g.comМартыновИ. П.MartynovI. P.

Мартынов Иван Платонович - д-р физ.-мат. наук, профессор.

ул. Ожешко, 22, 230020, Гродно.

Martynov Ivan Platonovich - D. Sc. (Physical and Ma­thematics), Professor. 

22, Ozheshko Str., 230020, Grodno.

i.martynov@grsu.byГродненский государственный университет имени Янки Купалы.Yanka Kupala State University of Grodno.201914052019632150156Copyright © Чжан Б., Чэнь Я., Мартынов И.П., 20192019Чжан Б., Чэнь Я., Мартынов И.П.Zhang B., Chen Y., Martynov I.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/596

Работа посвящена аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Объектом исследования являются нелинейные автономные дифференциальные уравнения третьего порядка с подвижной особой линией. Известны двухпараметрические рациональные решения этих уравнений. Цель исследования – выяснить вопрос, как из общих решений уравнений с подвижной особой линией получить двухпараметрические рациональные решения. В аналитической теории дифференциальных уравнений, как правило, нелинейные дифференциальные уравнения имеют отрицательные резонансы. Среди этих резонансов обязательно содержится резонанс, равный –1 (тривиальный случай). При этом в работах некоторых авторов утверждается, что природа нетривиальных отрицательных резонансов до настоящего времени не понята. Представляют интерес уравнения, решения которых имеют только нетривиальные отрицательные резонансы. Оказывается, что по отрицательным резонансам можно строить рациональные решения рассматриваемых уравнений. В данной работе указано необходимое и достаточное условие, при котором двухпараметрическое рациональное решение уравнения с подвижной особой линией можно получить из его общего решения.

The study is devoted to the analytical theory of ordinary differential equations. In the introduction, it is said that the object of investigation is nonlinear third-order autonomous differential equations with a moving singular line, and whose two-parameter rational solutions are known. The study aims to clarify how to obtain two-parameter rational solutions from the general solutions of these equations. In the analytical theory of differential equations, as a rule, nonlinear differential equations have negative resonances. Among these resonances is the resonance equal to –1 (trivial case). However, it is asserted in some of the researchers’ papers that the nature of these negative resonances has not been found until now. The equations only with non-trivial negative resonance arose the interest of researchers. And it appears that the rational solutions of the equations can be constructed by their negative resonances. In this paper, a necessary and sufficient condition is indicated, at which the two-parameter rational solution of the equation with a moving singular line can be obtained from its general solution.

дифференциальное уравнениеподвижная особая линияобщее решениерациональное решениеряд Лоранаабсолютная сходимостьрезонансыdifferential equationmoving singular linegeneral solutionrational solutionLaurent seriesabsolute conver genceresonancesReferencesAblowitz, M. J. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equation of P-type. I / M. J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur // J. Math. Phys. – 1980. – Vol. 21, N 4. – P. 715–721. https://doi.org/10.1063/1.524491Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equation of P-type. I. Journal of Mathematical Physics, 1980, vol. 21, no. 4, pp. 715–721. https://doi.org/10.1063/1.524491Мартынов, И. П. О дифференциальных уравнениях с подвижными критическими особыми точками / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1973. – T. 9, № 10. – С. 1780–1791.Martynov I. P. On differential equations with movable critical singular points. Differentsial’nye uravneniya = Differential equations, 1973, vol. 9, no. 10, pp. 1780–1791 (in Russian).Андреева, Т. К. О нулевых резонансах обыкновенных дифференциальных уравнений / Т. К. Андреева, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2010. – T. 102, № 3. – С. 29–36.Andreeva T. K., Martynov I. P., Pronko V. A. On the zero resonances of ordinary differential equations. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal’naya tekhnіka і kіravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics, Physics, Informatics, Computer Technology and its Control, 2010, vol. 102, no. 3, pp. 29–36 (in Russian).Соболевский, С. Л. Существование рациональных решений дифференциальных уравнений со свойством Пенлеве и отрицательными резонансными числами / С. Л. Соболевский // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2012. – T. 56, № 3. – С. 5–9.Sobolevsky S. L. Existence of rational solutions of differential equations with the Painlevé properties and negative resonance numbers. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2012, vol. 56, no. 3, pp. 5–9 (in Russian).Clarkson, P. A. Symmetry and Chazy equation / P. A. Clarkson, P. J. Olver // Journal of Differential Equation. – 1996. – Vol. 124, N 1. – P. 225–246. https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0008Clarkson P. A., Olver P. J. Symmetry and Chazy equation. Journal of Differential Equation, 1996, vol. 124, no. 1, pp. 225–246. https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0008Здунек, А. Г. О рациональных решениях дифференциальных уравнений / А. Г. Здунек, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2000. – T. 3, № 1. – С. 33–39.Zdunek A. G., Martynov I. P., Pronko V. A. On rational solutions of differential equations. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal’naya tekhnіka і kіravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics, Physics, Informatics, Computer Technology and its Control, 2000, vol. 3, no. 1, pp. 33–39 (in Russian).Jrad, F. Non-polynomial fourth order equations which pass the Painleve test / F. Jrad, U. Muğan // Zeitschrift für Naturforschung A. – 2005. – Vol. 60a, N 6. – P. 387–400. https://doi.org/10.1515/zna-2005-0601Jrad F., Mugan U. Non-polynomial fourth order equations which pass the Painleve test. Zeitschrift für Naturforschung A., 2005, vol. 60a, no. 6, pp. 387–400. https://doi.org/10.1515/zna-2005-0601Сhazy, J. Sur les équations différentielles du troisième ordre et d’ordre supérieur dont l’intégrale générale a ses points critiques fixes / J. Сhazy // Acta Math. – 1911. – Vol. 4. – P. 317–385.Chazy J. Sur les équations différentielles du troisième ordre et d’ordre supérieur dont l’intégrale générale a ses points critiques fixes. Acta Math., 1911, vol. 34, pp. 317–385 (in French). https://doi.org/10.1007/bf02393131Мартынов, И. П. Аналитические свойства решений одного дифференциального уравнения третьего порядка / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1985. – T. 21, № 5. – С. 764–771.Martynov I. P. Analytic properties of solutions of a third order differential equation. Differentsial’nye uravneniya = Differential equations, 1985, vol. 21, no. 5, pp. 764–771 (in Russian).Чэнь Ян. Аналитические свойства решений системы Дарбу третьего порядка / Ян Чэнь // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2018. – T. 8, № 2. – С. 26–31.Chen Y. Analytical properties of solutions of the third order Darboux system of the third order. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal’naya tekhnіka і kіravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics, Physics, Informatics, Computer Technology and its Control, 2018, vol. 8, no. 2. pp. 26–31 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.