danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2019-63-3-263-269dan-610Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSРазностные схемы для квазилинейных параболических уравнений со смешанными производнымиDifference schemes for quasi-linear parabolic equations with mixed derivativesМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск, Республика Беларусь

Matus Petr Pavlovich – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

matus@im.bas-net.byХиеуЛе МиньHieuLe Minh

Ле Минь Хиеу – канд. физ.-мат. наук

ул. Нгу Хань Шон, 71, 550000, Дананг, Вьетнам

Le Minh Hieu – Ph. D. (Physics and Mathematics)

71, Ngu Han Sean Str., 550000, Danang, Vietnam

hieulm@due.edu.vnПылакД.PylakD.

Пылак Дорота – канд. физ.-мат. наук

ул. Raclawickie, 14, 20-950, Люблин, Польша

Pylak Dorota – Ph. D. (Physics and Mathematics)

14, Raclawickie Str., 20-950, Lublin, Poland

dorotab@kul.plИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Католический университет ЛюблинаInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Institute of Mathematics and Computer Science The John Paul II Catholic University of LublinУниверситет экономики, Университет ДанангаUniversity of Economics, University of DanangКатолический университет ЛюблинаInstitute of Mathematics and Computer Science The John Paul II Catholic University of Lublin201927062019633263269Copyright © Матус П.П., Хиеу Л., Пылак Д., 20192019Матус П.П., Хиеу Л., Пылак Д.Matus P.P., Hieu L., Pylak D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/610

Настоящая работа посвящена построению монотонных разностных схем второго порядка точности для двумерного квазилинейного параболического уравнения со смешанными производными. Получены двусторонние оценки решения конкретных разностных схем для исходной задачи, которые полностью согласованные с аналогичными оценками решения дифференциальной задачи, а также доказана важная априорная оценка в равномерной норме C. Полученные оценки применяются для доказательства сходимости разностных схем в сеточной норме L2.

The present paper is devoted to constructing second-order monotone difference schemes for two-dimensional quasi-linear parabolic equation with mixed derivatives. Two-sided estimates of the solution of specific difference schemes for the original problem are obtained, which are fully consistent with similar estimates of the solution of the differential problem, and the a priori estimate in the uniform norm of C is proved. The estimates obtained are used to prove the convergence of difference schemes in the grid norm of L2.

уравнение со смешанными производнымипринцип максимумаравномерная сеткамонотонная разностная схемадвусторонние оценкиequation with mixed derivativesmaximum principleuniform gridmonotone difference schemetwo-sided estimatesReferencesСамарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М., 1989. – 616 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. Moscow, 1989. 616 р. (in Russian).Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. А. Гулин. – М., 1989. – 432 с.Samarskii A. A., Gulin A. A. Numerical methods. Moscow, 1989. 432 р. (in Russian).Матус, П. П. Монотонные разностные схемы для линейного параболического уравнения с граничными условиями смешанного типа / П. П. Матус, Во Тхи Ким Туен, Ф. Гаспар // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2014. – Т. 58, № 5. – С. 18–22.Matus P. P., Vo Thi Kim Tuyen, Gaspar F. Monotone difference schemes for linear parabolic equations with mixed boundary conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2014, vol. 58, no. 5, pp. 18–22 (in Russian).Arbogast, T. Mixed finite elements for elliptic problems with tensor coefficients as cell-centered finite differences / T. Arbogast, M. F. Wheeler, I. Yotov // SIAM J. Numer. Anal. – 1997. – Vol. 34, N 2. – P. 828–852. https://doi.org/10.1137/s0036142994262585Arbogast T., Wheeler M. F., Yotov I. Mixed finite elements for elliptic problems with tensor coefficients as cell-centered finite differences. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1997, vol. 34, no. 2, pp. 828–852. https://doi.org/10.1137/s0036142994262585Crumpton, P. Discretization and multigrid solution of elliptic equations with mixed derivative terms and strongly discontinuous coefficients / P. Crumpton, G. Shaw, A. Ware // J. Comput. Phys. – 1995. – Vol. 116, N 2. – P. 343–358. https://doi.org/10.1006/jcph.1995.1032Crumpton P., Shaw G., Ware A. Discretization and multigrid solution of elliptic equations with mixed derivative terms and strongly discontinuous coefficients. Journal of Computational Physics, 1995, vol. 116, no. 2, pp. 343–358. https://doi.org/10.1006/jcph.1995.1032Voigt, W. Finite-difference schemes for parabolic problems with first and mixed second derivatives / W. Voigt // Z. Angew. Math. und Mech. – 1988. – Vol. 68, N 7. – P. 281–288. https://doi.org/10.1002/zamm.19880680703Voigt W. Finite-difference schemes for parabolic problems with first and mixed second derivatives. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 1988, vol. 68, no. 7, pp. 281–288. https://doi.org/10.1002/zamm.19880680703Matus, P. Difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives / P. Matus, I. Rybak // Comput. Meth. Appl. Math. – 2004. – Vol. 4, N 4. – P. 494–505. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0027Matus P., Rybak I. Difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives. Computational Methods in Applied Mathematics, 2004, vol. 4, no. 4, pp. 494–505. https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0027Лубышев, Ф. В. Согласованные оценки скорости сходимости в сеточной норме W 2 2,0 (ω) разностных схем для нелинейных эллиптических уравнений со смешанными производными и решениями из W m 2,0 (Ω), 3 < m ≤ 4 / Ф. В. Лубышев, М. Э. Файрузов // ЖВМ и МФ. – 2017. – Т. 57, № 9. – С. 1444–1470.Lubyshev F. V., Fairuzov M. E. Consistent convergence rate estimates in the grid W 2 2,0 (ω) norm for difference schemes approximating nonlinear elliptic equations with mixed derivatives and solutions from W m 2,0 (Ω), 3 < m ≤ 4 . Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2017, vol. 57, no. 9, pp. 1427–1452. doi.org/10.7868/S0044466917090083Matus, P. On convergence of difference schemes for IBVP for quasilinear parabolic equations with generalized solutions / P. Matus // Comput. Meth. Appl. Math. – 2014. – Vol. 14, N 3. – P. 361–371. https://doi.org/10.1515/cmam-2014-0008Matus P. On convergence of difference schemes for IBVP for quasilinear parabolic equations with generalized solutions. Computational Methods in Applied Mathematics, 2014, vol. 14, no. 3, pp. 361–371. https://doi.org/10.1515/cmam-2014-0008Shishkin, G. Grid approximation of the singular perturbance boundary-value problem for quasilinear parabolic equations in the case of the full degeneration on time variables / G. Shishkin // Kuznetsov Yu. A., ed. Numerical methods and mathematical modeling. – Moscow, 1992. – P. 103–128.Shishkin G. Grid approximation of the singular perturbance boundary-value problem for quasilinear parabolic equations in the case of the full degeneration on time variables. Yu. A. Kuznetsov, ed. Numerical methods and mathematical modeling. Moscow, 1992, pp. 103–128.Матус, П. П. Принцип максимума для разностных схем с непостоянными входными данными / П. П. Матус, Л. М. Хиеу, Л. Г. Волков // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 5. – С. 13–17.Matus P. P., Hieu L. M., Vulkov L. G. Maximum principle for finite-difference schemes with non sigh-constant input data. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2015, vol. 59, no. 5, pp. 13–17 (in Russian).Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. – М., 1967. – 736 с.Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural’tseva N. N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. Мoscow, 1967. 736 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.