danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2019-63-3-270-277dan-611Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО неустойчивости линейных дифференциальных систем Миллионщикова, зависящих от вещественного параметраOn the instability of the Millionshchikov linear systems depending on a real parameterЛипницкийА. В.LipnitskiiA. V.

Липницкий Андрей Валерьевич – канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск, Республика Беларусь

Lipnitskii Andrei Valer’evich – Ph. D. (Physics and Mathematics), Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

ya.andrei173@yandex.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus201927062019633270277Copyright © Липницкий А.В., 20192019Липницкий А.В.Lipnitskii A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/611

Рассматриваютcя однопараметрические семейства линейных дифференциальных систем второго порядка, матрица коэффициентов которых зависит от вещественного параметра и представляет собой на каждом нечетном отрезке времени единичной длины диагональную матрицу, а за каждый четный отрезок времени матрица Коши системы осуществляет поворот на некоторый угол, аффинно зависящий от параметра. Ранее автором установлена положительность старшего показателя Ляпунова такой системы, рассматриваемого как функция параметра, на множестве положительной меры Лебега в случае, когда диагональная часть матрицы коэффициентов не зависит от параметра и отделена от нуля. В доказательстве этого результата существенно используются комплексные матрицы специального вида. В настоящей работе приводится другой способ доказательства данной теоремы, основанный на применении равенства Парсеваля для тригонометрических сумм. Помимо этого, рассмотрен частный случай описанных выше систем, характеризующийся тем, что диагональная часть матрицы коэффициентов не зависит от времени и достаточно велика, а углы поворота определяются максимальной степенью двойки, которая делит номер соответствующего отрезка времени. Для таких систем в случае непрерывной зависимости коэффициентов от параметра доказано существование такого его значения, при котором соответствующая система неустойчива.

The present article considers one-parameter families of second-order linear differential systems with a coefficient matrix depending on the real parameter, which is a diagonal matrix at each odd time interval of unit length. The Cauchy matrix is the rotation matrix at each odd time interval, whereas the angle is the sum of a parameter value and some real number. Earlier, it has been has proved that the upper Lyapunov exponent of each such a system, which is considered to be the function of parameter, is positive on the set of the positive Lebesque measure if the diagonal part of the coefficient matrix is independent on a parameter and separated from zero. The proof of this result essentially uses a complex matrix of special type. In recent article, the author has given another way to prove this theorem based on implementing the Parseval equality for trygonometric sums. Besides, the author considers the special case of the above systems. Now the diagonal part of the coefficient matrix is time-independent and is sufficiently big, whereas the rotation angle is defined by a maximum degree of two that divides the number of the corresponding time interval. For such a system, in the case of a continious coefficient dependence on a parameter it is proved that such a value exists, at which the corresponding system is unstable.

линейная дифференциальная системастарший показатель Ляпуновавещественный параметрравенство Парсеваляlinear differential systemupper Lyapunov exponentreal parameterParseval equalityReferencesЛипницкий, А. В. Оценки снизу старшего характеристического показателя в однопараметрических семействах систем Миллионщикова / А. В. Липницкий // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. – 2014. – Вып. 30. – С. 171–177.Lipnickij A. V. Lower bounds for the upper lyapunov exponent in one-parameter families of Millionshchikov systems. Trudy seminara imeni I. G. Petrovskogo = Proceedings of the I. G. Petrovsky seminar, 2014, vol. 30, pp. 171–177 (in Russian).Миллионщиков, В. М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференциальных уравнений с почти-периодическими коэффициентами / В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. – 1968. – Т. 4, № 3. – С. 391–396.Millionshchikov V. M. Proof of existence of irregular systems of linear differential equations with almost-periodic coefficients. Differentsial’nye uravneniia = Differential Equations, 1968, vol. 4, no. 3, pp. 391–396 (in Russian).Миллионщиков, В. М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 11. – С. 1979–1983; 1974. – T. 10, № 3. – C. 569.Millionshchikov V. M. Proof of existence of irregular systems of linear differential equations with quasi-periodic coefficients. Differentsial’nye uravneniia = Differential Equations, 1969, vol. 5, no. 11, pp. 1979–1983; 1974, vol. 10, no. 3, pp. 569 (in Russian).Липницкий, А. В. О решении В. М. Миллионщиковым проблемы Еругина // Дифференц. уравнения. – 2000. – Т. 36, № 12. – С. 1615–1620.Lipnickij A. V. On V. M. Millionshchikov’s solution of the Erugin problem. Differentsial’nye uravneniia = Differential Equations, 2000, vol. 36, no. 12, pp. 1615–1620 (in Russian).Барабанов, Е. А. Сингулярные показатели и критерии правильности линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2005. – Т. 41, № 2. – С. 147–157.Barabanov E. A. Singular exponents and regularity criteria for linear differential systems. Differentsial’nye uravneniia = Differential Equations, 2005, vol. 41, no. 2, pp. 147–157 (in Russian).Изобов, Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова / Н. А. Изобов. – Минск, 2006. – 319 с.Izobov N. A. Lyapunov exponents and stability. Minsk, 2006. 319 p. (in Russian).Липницкий, А. В. Оценки отклонения решений линейных дифференциальных систем Миллионщикова от соответствующих тригонометрических сумм / А. В. Липницкий // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 3. – С. 5–10.Lipnickij A. V. Estimation of Millionshchikov linear systems solutions deviation from the corresponding trygonemrtic sums. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 3, pp. 5–10 (in Russian).Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М., 2004. – 572 с.Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the theory of functions and of functional analysis. Moscow, 2004. 572 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.