danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2019-63-4-398-407dan-627Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб одном рациональном сингулярном интеграле Джексона на отрезкеJackson’s rational singular integral on the cutРовбаЕ. А.RovbaYevgeniy A.

Ровба Евгений Алексеевич – д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Rovba Yevgeniy Alekseyevich – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

rovba.ea@gmail.comПоцейкоП. Г.PotsejkoPavel G.

Поцейко Павел Геннадьевич – аспирант

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Potsejko Pavel Gennadievich – Postgraduate student

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

pahamatby@gmail.comГродненский государственный университет им. Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno201912092019634398407Copyright © Ровба Е.А., Поцейко П.Г., 20192019Ровба Е.А., Поцейко П.Г.Rovba Y.A., Potsejko P.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/627

Приведены основные результаты ранее известных работ о сингулярном интеграле Джексона в полиномиальном и рациональном случаях. Вводится в рассмотрение сингулярный интеграл Джексона на отрезке [–1, 1] с ядром, полученным с помощью одной системы рациональных дробей чебышёва–Маркова, и устанавливаются его основные аппроксимативные свойства: получена теорема о равномерной сходимости последовательности сингулярных интегралов Джексона для четной функции f C ∈ - [ 1,1], и указаны условия, которым должен удовлетворять параметр, чтобы равномерная сходимость имела место; исследованы аппроксимативные свойства последовательности сингулярных интегралов Джексона на классах MH (γ) [ 1,1] - функций, удовлетворяющих на отрезке [–1, 1] условию Липшица степени γ < γ ≤ , 0 1, с константой M. Полученные оценки являются асимптотически точными при n → ∞; найдены оценка уклонений рационального сингулярного интеграла Джексона от функции |x|s, 0 < s < 2, в зависимости от положения точки x на отрезке, равномерная оценка уклонения на отрезке [–1, 1] и ее асимптотика. Получено оптимальное значение параметра, при котором погрешность уклонения изучаемого аппарата приближения от функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [–1, 1] имеет наиболее высокую скорость стремления к нулю; найден порядок приближения функции |x| на отрезке [–1, 1] рассматриваемым сингулярным интегралом Джексона. Показано, что при специальном выборе параметра скорость стремления к нулю погрешности приближения является более высокой в сравнении с полиномиальным случаем. Работа носит как теоретический характер, так и прикладной. Возможно применение результатов для решения конкретных задач вычислительной математики и при чтении спецкурсов на математических факультетах.

The introduction presents the main results of previously known papers on Jackson’s singular integral in polynomial and rational cases. Next, we introduce Jackson’s singular integral on the interval [–1, 1] with the kernel obtained by one system of rational Chebyshev–Markov fractions and establish its basic approximative properties: a theorem on uniform convergence of a sequence of Jackson’s singular integrals for an even function is obtained, and conditions are specified that the parameter must satisfy in order for uniform convergence to take place; the approximative properties of sequences of Jackson’s singular integrals on classes of functions satisfying on the interval [–1, 1] the condition of Lipschitz class with constant M. are investigated. The obtained estimates are asymptotically exact as n → ∞; an estimate of deviation of Jackson’s rational singular integral from the function |x|s, 0 < s < 2 depending on the position of the point on the segment, a uniform estimate of the deviation on the segment [–1, 1] and its asymptotics are found. The optimal value of the parameter is obtained, for which the deviation error of the studied approximation apparatus from the function |x|s, 0 < s < 2 on the interval [–1, 1] has the highest rate of zero; the order of approximation of the function |x| on the interval [–1, 1] byJackson’s considered singular integral is found. It is shown that with a special choice of the parameter, the velocity of the approximation error tending to zero is higher in comparison with the polynomial case. All results of this article are new. The work is both theoretical and applied. It is possible to apply the results to solve specific problems of computational mathematics and to read special courses at mathematical faculties.

рациональный ряд Фурье–Чебышёвачастичные суммысингулярный интеграл Джексонаравномерная сходимостьусловие Липшицаасимптотические оценкиточные константыrational Fourier–Chebyshev seriespartial sumsJackson singular integraluniform convergenceLipschitz conditionasymptotic estimatesexact constantsReferencesJackson, D. The theory of approximation / D. Jackson. – American Mathematical Society Colloquium Publications, 1930. – Vol. XI. – 184 p. http://dx.doi.org/10.1090/coll/011Jackson D. The theory of approximation. American Mathematical Society. Vol. XI. Colloquium Publications, 1930. 184 p. http://dx.doi.org/10.1090/coll/011Schurer, F. On the Degree of Approximation of Functions in C2π1 with Operators of the Jackson Type / F. Schurer,F. W. Steutel // Journal of Approximation Theory. – 1979. – Vol. 27, N 2. – P. 153–178. https://doi.org/10.1016/0021-9045(79)90117-5Schurer F., Steutel F. W. On the Degree of Approximation of Functions in C2π1 with Operators of the Jackson Type. Journal of Approximation Theory, 1979, vol. 27, no. 2, pp. 153–178. https://doi.org/10.1016/0021-9045(79)90117-5Waf, A. Saturation of local approximation by linear positive operators of Jackson type / A. Waf // Indian J. Pure Appl. Math. – 1980. – Vol. 11, N 9. – P. 1194–1201.Waf A. Saturation of local approximation by linear positive operators of Jackson type. Indian Journal Pure Applied Mathematics, 1980, vol. 11, no. 9, pp. 1194–1201.Сафронова, Г. П. О методе суммирования расходящихся рядов, связанном с сингулярным интегралом Джексона / Г. П. Сафронова // Докл. АН СССР. – 1950. – Т. 73, № 2. – С. 277–278.Safronova G. P. On the summation method for divergent series associated with the singular Jackson integral. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1950, vol. 73, no. 2, pp. 277–278 (in Russian).Takenaka, S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations / S. Takenaka // Japanese Journal of Mathematics. – 1925. – Vol. 2. – P. 129–145. https://doi.org/10.4099/jjm1924.2.0_129Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations. Japanese Journal of Mathematics, 1925, vol. 2, pp. 129–145. https://doi.org/10.4099/jjm1924.2.0_129Malmquist, F. Sur la determination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne de points / F. Malmquist // Compte Rendus Six. Cong. math. scand. – kopenhagen, Denmark, 1925. – P. 253–259.Malmquist F. Sur la determination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne de points. Compte Rendus Six. Cong. math. scand. kopenhagen, Denmark, 1925, pp. 253–259.Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск, 1979. – 178 с.Rusak V. N. Rational functions as approximation apparatus. Minsk, Belarusian State University, 1979. 176 p. (in Russian).Ровба, Е. А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е. А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40, № 3. – С. 42–46.Rovba E. A. Rational integral operators on a segment. Doklady Akademii nauk Belarusi = Doklady of the Academy of Sciences of Belarus, 1996, vol. 40, no. 3, p. 42–46 (in Russian).Смотрицкий, К. А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке / К. А. Смотрицкий // Вестн. БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2005. – № 3. – С. 64–70.Smatrytski k. A. Approximation of convex functions by rational integral operators on an interval. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika = Vestnik BSU. Series 1. Physics. Mathematics. Informatics, 2005, no. 3, pp. 64–70 (in Russian).Никольский, С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1940. – Т. 4, № 6. – С. 501–508.Nikol’skii S. M. On the asymptotic behavior of the remainder in the approximation of functions that satisfy the Lipschitz condition by Fejer sums. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya = Izvestiya: Mathematics, 1940, vol. 4, no. 6, pp. 501–508 (in Russian).Bernstein, S. Sur la meilleure approximation de |x| par des polynomes de degres donnes / S. Bernstein // Acta Math. – 1913. – Vol. 37. – P. 1–57. https://doi.org/10.1007/bf02401828Bernstein S. Sur la meilleure approximation de |x| par des polynomes de degres donnes. Acta Mathematica, 1913, vol. 37, pp. 1–57. https://doi.org/10.1007/bf02401828Newman, D. J. Rational approximation to |x| / D. J. Newman // Mich. Math. J. – 1964. – Vol. 11, N 1. – P. 11–14. https://doi.org/10.1307/mmj/1028999029Newman D. J. Rational approximation to |x|. Michigan Mathematical Journal, 1964, vol. 11, no. 1, pp. 11–14. https://doi.org/10.1307/mmj/1028999029Буланов, А. П. Асимптотика для наименьших уклонений |x| от рациональных функций / А. П. Буланов // Матем. сб. – 1968. – Т. 76, № 2. – С. 288–303.Bulanov A. P. Asymptotics for the smallest deviations |x| from rational functions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1968, vol. 5, no. 2, pp. 275–290. https://doi.org/10.1070/sm1968v005n02abeh001006Вячеславов, Н. С. О приближении функции |x| рациональными функциями / Н. С. Вячеславов // Матем. заметки. – 1974. – Т. 16, вып. 1. – С. 163–171.Vyacheslavov N. S. On the approximation of the function |x| rational functions. Matematicheskie zametki = Mathematical Notes, 1974, vol. 16, no. 1, pp. 163–171 (in Russian).Шталь, Г. Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации |x| на [–1, 1] / Г. Шталь // Матем. сб. – 1992. – Т. 183, № 8. – C. 85–118.Stahl H. Best uniform rational approximation of |x| on [–1, 1]. Russian Academy of Sciences. Sbornik Mathematics, 1993, vol. 76, no. 2, pp. 461–487. http://dx.doi.org/10.1070/SM1993v076n02ABEH003422Бернштеин, С. Н. О наилучшем приближении |x|p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштеин // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. – 1938. – Т. 2, вып. 2. – С. 169–190.Bernstein S. Sur la meilleure approximation de |x|p par des polynomes de degres tres eleves. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya = Izvestiya: Mathematics, 1938, vol. 2, no. 2, pp. 169–190 (in Russian).Freud, G. Rational approximation to xa / G. Freud, J. Szabados // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. – 1967. – T. 18, N 3–4. – P. 393–399. https://doi.org/10.1007/bf02280298Freud G., Szabados J. Rational approximation to xa. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1967, vol. 18, no. 3–4, pp. 393–399. https://doi.org/10.1007/bf02280298Гончар, А. А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями / А. А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73, № 4. – С. 630–638.Gonchar A. A. On the rapidity of rational approximation of continuous functions with characteristic singularities. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1967, vol. 2, no. 4, 561–568. http://dx.doi.org/10.1070/SM1967v002n04ABEH002355Вячеславов, Н. С. Об аппроксимации xa рациональными функциями / Н. С. Вячеславов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1980. – Т. 44, вып. 1. – С. 92–109.Vyacheslavov N. S. On approximation of xa by rational functions. Mathematics of the USSR – Izvestiya, 1981, vol. 16, no. 1, pp. 83–101. http://dx.doi.org/10.1070/IM1981v016n01ABEH001297Stahl, H. Best uniform rational approximation of xa on [0, 1] / H. Stahl // Bul. Am. Math. Society. – 1993. – Vol. 28, N 1. – P. 116–122. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1993-00351-3Stahl H. Best uniform rational approximation of xa on [0, 1]. Bulletin of the American Mathematical Society, 1993, vol. 28, no. 1, pp. 116–122. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1993-00351-3Revers, M. On the asymptotics of polynomial interpolation to xa at the Chebyshev nodes / M. Revers // Journal of Approximation Theory. – 2013. – Vol. 165. – P. 70–82.Revers M. On the asymptotics of polynomial interpolation to xa at the Chebyshev nodes. Journal of Approximation Theory, 2013, vol. 165, pp. 70–82.Райцин, Р. А. Асимптотические свойства равномерных приближений функций с алгебраическими особенностями частичными суммами ряда Фурье–чебышева / Р. А. Райцин // Изв. вузов. Матем. – 1980. – № 3. – С. 45–49.Raitsin R. A. Asymptotic properties of uniform approximations of functions with algebraic singularities by partial sums of the Fourier-Chebyshev series. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika = Soviet Mathematics, 1980, no. 3, pp. 45–49 (in Russian).Поцейко, П. Г. Об одном представлении сингулярного интеграла Джексона и аппроксимации функции |x|s на отрезке [–1, 1] / П. Г. Поцейко // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2019. – Т. 9, № 2. – С. 22–38.Potseiko P. G. On one representation of singular integral of Jackson and approximation of the function |x|s on the segment [–1, 1]. Vestnik Grodnenskogo Gosudarstvennogo Universiteta imeni Yanki Kupaly. Seriya 2. Matematika, Fizika, Informatika, Vychislitel’naya Tekhnika i upravlenie = Bulletin of the Grodno State University named after Yanki Kupaly. Series 2. Mathematics, Physics, Informatics, Computing technology and control, 2019, vol. 9, no. 2, pp. 22–38 (in Russian)Ровба, Е. А. Об одной системе рациональных дробей чебышёва–Маркова / Е. А. Ровба, П. Г. Поцейко // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 61, № 1. – С. 24–29.Rovba y. А., Potsejko P. G. About one system of the Chebyshev–Markov rational fractions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 61, no. 1, pp. 24–29 (in Russian).Rouba, y. On a system of rational Chebyshev–Markov fractions // y. Rouba, P. Patseika, k. Smatrytski // Analysis Math. – 2018. – Vol. 44, N 1. – P. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7Rouba y., Patseika P., Smatrytski k. On a system of rational Chebyshev–Markov fractions. Analysis Mathematica, 2018, vol. 44, no. 1, pp. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М., 1949. – 684 с.Natanson I. P. Constructive theory of functions. Moscow, State publishing house of technical and theoretical literature, 1949. 684 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.