danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-7Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛА КУРЦВЕЙЛЯ–ХЕНСТОКАKURZWEIL–HENSTOCK INTEGRABILITY OF THE PRODUCT OF INTEGRABLE FUNCTIONSГОЛЬДМАНМ. Л.GOLDMANM. L.seulydia@yandex.ruЗАБРЕЙКОП. П.ZABREIKOP. P.zabreiko@mail.ruРоссийский университет дружбы народов, МоскваPeoples’ Friendship University of Russia, MoscowБелорусский государственный университет, МинскBelarussian State University, Minsk2016200520166011823Copyright © ГОЛЬДМАН М.Л., ЗАБРЕЙКО П.П., 20162016ГОЛЬДМАН М.Л., ЗАБРЕЙКО П.П.GOLDMAN M.L., ZABREIKO P.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/7

В сообщении изучается вопрос об интегрируемости произведения функций для интегралов Курцвейля–Хенстока. Классическим утверждением здесь является теорема об интегрируемости произведения интегрируемой функции и функции ограниченной вариации. Приводится несколько более общих утверждений для функций, одна из которых имеет первообразную, удовлетворяющую обычному или обобщенному условию Гельдера с показателем α или модулем φ, а вторая – сама удовлетворяет обычному или обобщенному условию Гельдера, соответственно с показателем β или модулем ψ, причем α + β > 1 или функция t–2φ(t)ψ(t) интегрируема в окрестности нуля. Аналогичные утверждения установлены и для функций с ограниченными вариациями в смысле Винера, Янга, Уотермана и Шрама.

The article deals with the problem of integrability of the product of integrable functions in the Kurzweil–Henstock sense. The classical theorem states here that the product of an integrable function and a function of bounded variation is also integrable. In the article it is proved that the product of a function with the primitive satisfying the Hölder condition with the exponent α or with the module φ and a function satisfying the Hölder condition with the exponent β or with the module ψ such that α + β > 1  or t–2φ(t)ψ(t) is integrable. Similar results for functions with generalized (Winer, Young, Waterman, Schramm) bounded variations are stated.

интегралы РиманаЛебегаКурцвейля–Хенстокаинтеграл Римана–Стильтьесафункции ограниченной вариацииобобщенные вариации функцийRiemannLebesgueKurzweil–Henstock integralsRiemann–Stiltjes integralfunctions of bounded variationgeneralized variations of functionsReferencesЛукомский, С. Ф. Интегральное исчисление (функции одной переменной) / С. Ф. Лукомский. – Саратов: Из-во Саратовского ун-та, 2005. – 144 с.Лукомский, С. Ф. Интегральное исчисление (функции одной переменной) / С. Ф. Лукомский. – Саратов: Из-во Саратовского ун-та, 2005. – 144 с.Лукашенко, Т. П. Обобщенные интегралы / Т. П. Лукашенко, В. А. Скворцов, А. П. Солодов. – Москва: URSS (ЛИБРОКОМ), 2009; 2011. – 275 с.Лукашенко, Т. П. Обобщенные интегралы / Т. П. Лукашенко, В. А. Скворцов, А. П. Солодов. – Москва: URSS (ЛИБРОКОМ), 2009; 2011. – 275 с.Bartle, R. G. A Modern Theory of Integration (Graduate Studies in Mathematics, 32) / R. G. Bartle. – American Mathematical Society, 2001. – 458 р.Bartle, R. G. A Modern Theory of Integration (Graduate Studies in Mathematics, 32) / R. G. Bartle. – American Mathematical Society, 2001. – 458 р.Кондурарь, В. Т. Sur l’integrale de Stiltjes / В. Т. Кондурарь // Матем. сб. – 1937. – Т. 2, № 44. – С. 361–366.Кондурарь, В. Т. Sur l’integrale de Stiltjes / В. Т. Кондурарь // Матем. сб. – 1937. – Т. 2, № 44. – С. 361–366.Appell, J. Bounded Variation and Around / J. Appell, J. Banaš, N. Merentes. – Berlin, 2014.Appell, J. Bounded Variation and Around / J. Appell, J. Banaš, N. Merentes. – Berlin, 2014.Young, L. G. An inequality of the Hölder type connected with Stieltjes integration / L. G. Young // Acta Math. – 1936. – Vol. 67. – P. 251–282.Young, L. G. An inequality of the Hölder type connected with Stieltjes integration / L. G. Young // Acta Math. – 1936. – Vol. 67. – P. 251–282.Young, L. G. Inequalities connected with p-th power variation in the Wiener sense and with integrated Lipschitz conditions... / L. G. Young // Proc. London Math. Soc. – 1937. – Vol. 2, N 43. – P. 449–467.Young, L. G. Inequalities connected with p-th power variation in the Wiener sense and with integrated Lipschitz conditions... / L. G. Young // Proc. London Math. Soc. – 1937. – Vol. 2, N 43. – P. 449–467.Lesniewicz, R. On generalized variations / R. Lesniewicz, W. Orlicz // Studia Math. – 1973. – Vol. 45. – P. 71–109.Lesniewicz, R. On generalized variations / R. Lesniewicz, W. Orlicz // Studia Math. – 1973. – Vol. 45. – P. 71–109.Леви, П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. – Москва: Наука, 1967. – 510 с.Леви, П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. – Москва: Наука, 1967. – 510 с.Schramm, M. Functions of Ф-bounded variation and Riemann–Stiltjes integration / M. Schramm // Trans. Amer. Math. Soc. – 1985. – Vol. 287, N 1. – P. 49–63.Schramm, M. Functions of Ф-bounded variation and Riemann–Stiltjes integration / M. Schramm // Trans. Amer. Math. Soc. – 1985. – Vol. 287, N 1. – P. 49–63.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.