danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"dan-74Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСВОЙСТВА ГЛАДКОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ УРЫСОНА И МЕТОД НЬЮТОНА–КАНТОРОВИЧАSMOOTHNESS PROPERTIES OF THE URYSON INTEGRAL OPERATORS AND THE NEWTON–KANTOROVICH METHODЕВХУТАЕ. А.EVKHUTAN. A.ЕВХУТАО. Н.EVKHUTAO. N.ЗАБРЕЙКОП. П.ZABREIKOP. P.zabreiko@mail.ruЮжно-Российский технический университет, НовочеркасскRussian FederationБелорусский государственный университет, МинскBelarus2015310520165922328Copyright © ЕВХУТА Е.А., ЕВХУТА О.Н., ЗАБРЕЙКО П.П., 20162016ЕВХУТА Е.А., ЕВХУТА О.Н., ЗАБРЕЙКО П.П.EVKHUTA N.A., EVKHUTA O.N., ZABREIKO P.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/74

В сообщении проводится анализ свойств гладкости интегрального оператора Урысона в пространствах Лебега Lp (1≤ p < ∞). Такие операторы, даже порожденные сколь угодно гладкими (и аналитическими!) нелинейностями, вообще говоря, обычно не дифференцируемы ни в каком общепринятом смысле. Однако для них могут быть выписаны формальные производные, которые даже в лучших случаях являются лишь разрывными производными Гато или производными Фреше, не обладающими свойством равномерной непрерывности на ограниченных и замкнутых множествах. Однако оказывается, что для этих формальных производных справедлива классическая формула Ньютона–Лейбница. Это позволяет для уравнений с операторами Урысона не только выписать формулы метода Ньютона–Канторовича, но и применить ряд модификаций теорем о сходимости приближений Ньютона–Канторовича в условиях, когда классические теоремы о методе Ньютона–Канторовича не применимы.

The article deals with the analysis of “weakened smoothness properties” for Uryson integral operators in the Lebesgue spaces Lp(1≤ p < ∞). It is shown that the formal derivative of the Uryson integral operator generated by a smooth (and even analytical) kernel can be considered as a generalized derivative; namely, for this formal derivative, a variant of the classical Newton–Leibnitz formula turns to be held. The smoothness conditions for such formal derivatives are presented. All theses data allow obtaining some results on the convergence of the Newton–Kantorovich method for Uryson integral equations.

ReferencesAppell J., Zabrejko P. P. Nonlinear Superposition Operators (Cambridge Texts in Mathematics, N 95). Cambridge University Press, 1990. – 320 p.Appell J., Zabrejko P. P. Nonlinear Superposition Operators (Cambridge Texts in Mathematics, N 95). Cambridge University Press, 1990. – 320 p.Appell J., De Pascale E., Zabrejko P. P. // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1991. Vol. 12, N 3–4. P. 271–284.Appell J., De Pascale E., Zabrejko P. P. // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1991. Vol. 12, N 3–4. P. 271–284.Евхута Н. А., Евхута О. Н., Забрейко П. П. // Докл. НАН Беларуси. 2013. Т. 57, № 5. С. 5–10.Евхута Н. А., Евхута О. Н., Забрейко П. П. // Докл. НАН Беларуси. 2013. Т. 57, № 5. С. 5–10.Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. – 500 с.Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. – 500 с.Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. – 448 с.Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. – 448 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.