Гороховик Валентин Викентьевич – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий отделом.
ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
Gorokhovik Valentin Vikent’evich – Corresponding Mem ber, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department.
11, Surganov Str., 220072, Minsk
Тыкун Александр Станиславович – канд. физ.-мат. наук, доцент.
пр. Независимости, 4, 220030, Минск
Tykoun Alexander Stanislavovich – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate professor.
4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk
Для функций, определенных на нормированных пространствах, вводится понятие LС -выпуклости, которое обобщает понятие классически выпуклых функций. LС -выпуклыми названы такие функции, которые являются верхними огибающими некоторого множества липшицевых вогнутых функций. Доказывается, что функция является LС -выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. Как обобщение понятия глобального субдифференциала классически выпуклой функции, вводятся множество опорных LС -минорант к функции в заданной точке и множество нижних LС -опорных точек функции, в терминах которых затем устанавливаются критерий для точек глобального минимума и необходимое условие для точек глобального максимума негладких функций. Важным результатом данного сообщения является доказательство того, что для LС -выпуклых функций множество нижних LС -опорных точек является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда–Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций и восходят к одному из важнейших результатов классического выпуклого анализа – теореме Бишопа–Фелпса о плотности опорных точек в границе замкнутого выпуклого множества.
For the functions defined on normed vector spaces, we introduce a new notion of the LC -convexity that generalizes the classical notion of convex functions. A function is called to be LC -convex if it can be represented as the upper envelope of some subset of Lipschitz concave functions. It is proved that the function is LC -convex if and only if it is lower semicontinuous and, in addition, it is bounded from below by a Lipschitz function. As a generalization of a global subdifferential of a classically convex function, we introduce the set of LC -minorants supported to a function at a given point and the set of LC -support points of a function that are then used to derive a criterion for global minimum points and a necessary condition for global maximum points of nonsmooth functions. An important result of the article is to prove that for a LC - convex function, the set of LC -support points is dense in its effective domain. This result extends the well-known Brondsted– Rockafellar theorem on the existence of the sub-differential for classically convex lower semicontinuous functions to a wider class of lower semicontinuous functions and goes back to the one of the most important results of the classical convex analysis – the Bishop–Phelps theorem on the density of support points in the boundary of a closed convex set.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.