danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2019-63-6-654-661dan-807Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКритерий разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентовSolvability criterion of the control problem of an asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with the trivial averaging of the coefficient matrixДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – д-р физ.-мат. наук, доцент, гл. науч. сотрудник.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Demenchuk Aleksandr Konstantinovich – D. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant professor, Leading researcher. 

11, Surganov Str., 220072, Minsk

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus201904012020636654661Copyright © Деменчук А.К., 20202020Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/807

Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Рассматриваемая система изучается в случае нулевого среднего значения матрицы коэффициентов. Для описанного класса систем решается задача управления спектром нерегулярных колебаний (асинхронным спектром) с целевым множеством частот. Эта задача состоит в следующем: построить такое управление из допустимого множества, чтобы у замкнутой этим управлением системы появились почти периодические решения, множество показателей Фурье (спектр частот) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. В работе получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи управления асинхронным спектром.

A linear control system with an almost periodic matrix of coefficients and the control in the form of feedback linear in phase variables is considered. It is assumed that the feedback coefficient is almost periodic and its frequency module, i. e. the smallest additive group of real numbers, including all the Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency module of the coefficient matrix. The system under consideration is studied in the case of a zero average value of the matrix of coefficients. For the described class of systems, the control problem of the spectrum of irregular oscillations (asynchronous spectrum) with a target set of frequencies is solved. This task is as follows: to construct such a control from an admissible set so that the system closed by this control has almost periodic solutions, the set of Fourier exponents (frequency spectrum) that are contained in a predetermined subset; the intersection of the solution frequency modules and the coefficient matrix is trivial. The necessary and sufficient conditions for solvability of the control problem of the asynchronous spectrum are obtained.

почти периодические линейные системынулевое среднее значениепоказатели Фурьесильно нерегулярные колебанияасинхронный спектрdifference periodic equationsperiodic sequencesstrongly irregular periodic solutionsReferencesКарасев, М. Д. Некоторые общие свойства нелинейных элементов / М. Д. Карасев // Успехи физич. наук. – 1959. – Т. 69, вып. 10. – С. 217–267. https://doi.org/10.3367/ufnr.0069.195910c.0217Karasev M. D. Some general properties of nonlinear reactive elements. Soviet Physics Uspekhi, 1959, vol. 5, no. 2, pp. 719–748. https://doi.org/10.1070/pu1959v002n05abeh003169Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bol. de la Facultad de Ingenieria. – 1950. – Vol. 4, N 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Boletín de la Facultad de Ingeniería, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45 (in Italiano).Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехосл. матем. журн. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370.Kurzweil J., Veivoda O. On periodic and almost periodic solutions of the ordinary differential systems. Chekhoslovatskii matematicheskii zhurnal [Czechoslovak Mathematical Journal], 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian).Еругин, Н. П. О периодических решениях дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин // Прикл. матем. и механика. – 1956. – Т. 20, № 1. – С. 148–152.Erugin N. P. On periodic solutions of differential equations. Prikladnaya matematika i mekhanika = Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1956, vol. 20, no. 1, pp. 148–152 (in Russian).Гайшун, И. В. Уравнения в полных производных с периодическими коэффициентами / И. В. Гайшун // Докл. АН БССР. – 1979. – Т. 23, № 8. – С. 684–686.Gaishun I. V. Equations in full derivatives with periodic coefficients. Doklady AN BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of Belarusian Soviet Socialist Republic], 1979, vol. 23, no. 8, pp. 684–686 (in Russian).Грудо, Э. И. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами периодических дифференциальных систем / Э. И. Грудо // Дифференц. уравнения. – 1986. – Т. 22, № 9. – С. 1499–1504.Grudo E. I. On periodic solutions with incommensurable periods of periodic differential systems. Differentsial’nye uravneniya = Differential equations, 1986, vol. 22, no. 9, pp. 1499–1504 (in Russian).Demenchuk, А. К. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems / A. K. Demenchuk // Math. Bohemica. – 2001. – Vol. 126, N 1. – P. 221–228.Demenchuk А. K. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems. Mathematica Bohemica, 2001, vol. 126, no. 1, pp. 221–228.Левитан, Б. М. Почти периодические функции / Б. М. Левитан. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. – 396 с.Levitan B. M. Almost periodic functions. Moscow, State publishing house of technical and theoretical literature, 1953. 396 p. (in Russian).Деменчук, А. К. Необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 2. – С. 176–181. https://doi.org/10.29235/1561-2430- 2019-55-2-176-181Demenchuk A. K. Necessary condition for solvability of the control problem of an asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with trivial averaging of the coefficient matrix. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 2, pp. 176–181 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-176-181Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989. – 655 c.Horn R. A., Johnson Ch. R. Matrix analysis. Cambridge, 1986.Деменчук, А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний линейных систем с нулевым усреднением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2010. – Т. 46, № 10. – С. 1381–1387.Demenchuk A. K. Spectrum control problem for strongly irregular periodic vibrations of linear systems with zero mean of the coefficient matrix. Differentsial’nye uravneniya = Differential equations, 2010, vol. 46, no. 10, pp. 1389–1394. https://doi.org/10.1134/s0012266110100022

The authors declare that there are no conflicts of interest present.