danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2020-64-2-135-143dan-863Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКоэффициентная устойчивость решений разностных схем, аппроксимирующих смешанные задачи для полулинейных гиперболических уравненийStability with respect to coefficients of solution of difference schemes approximating initial boundary-value problems for semi-linear hyperbolic equationsМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Matus Piotr P. – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher.

matus@im.bas-net.byЛемешевскийС. В.LemeshevskyS. V.

Лемешевский Сергей Владимирович – канд. физ.-мат. наук, директор.

Lemeshevsky Sergey V. – Ph. D. (Physics and Mathematics), Director.

svl@im.bas-net.byКатолический университет Люблина, Польша; Институт математики Национальной академии наук БеларусиJohn Paul II Catholic University of Lublin, Poland; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202017052020642135143Copyright © Матус П.П., Лемешевский С.В., 20202020Матус П.П., Лемешевский С.В.Matus P.P., Lemeshevsky S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/863

Исследуется коэффициентная устойчивость решения разностной схемы, аппроксимирующей смешанную задачу для одномерного полулинейного гиперболического уравнения. Получены оценки решения дифференциальной и разностной задач. При этом решение может разрушаться за конечное время. Установлена нижняя граница разрушения решения. В области существования решения получены оценки возмущения решения разностной схемы по отношению к возмущению коэффициентов уравнения, согласующиеся с оценками для дифференциальной задачи. Во всех случаях применялись метод энергетических неравенств, неравенство Бихари и его сеточный аналог.

The stability with respect to coefficients of solution of a difference scheme approximating the initial boundary-value problem for the one-dimensional semi-linear hyperbolic equation is studied. The estimates of the solutions of both differential and difference problems are obtained. In the domain of existence of the solution, the estimates for perturbation of the solution of a difference scheme with respect to perturbation of the coefficients of the equation are obtained. These estimates are consistent with the estimates for the differential problem. In all cases, the method of energy inequalities, the Bihari inequality and its mesh analogue are used.

полулинейное гиперболическое уравнениеразностная схемакоэффициентная устойчивостьметод энергетических неравенствsemi-linear hyperbolic equationdifference schemestability with respect to coefficientsthe method of energy inequalitiesReferencesLevine, H. A. Instability and Nonexistence of Global Solutions to Nonlinear Wave Equations of the Form Pu tt = = −Au + F(u) / H. A. Levine // Transactions of the American Mathematical Society. – 1974. – Vol. 192. – P. 1–21. https://doi.org/10.2307/1996814Levine H. A. Instability and Nonexistence of Global Solutions to Nonlinear Wave Equations of the Form Pu tt = = −Au + F(u). Transactions of the American Mathematical Society, 1974, vol. 192, pp. 1–21. https://doi.org/10.2307/1996814Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – Москва, 1977. – 657 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. Moscow, 1977. 467 p. (in Russian).Самарский, А. А. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус // Докл. РАН. – 1997. – Т. 356, № 4. – С. 455–457.Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Matus P. P. The strong stability of differential-operator and operator-difference schemes. Doklady Mathematics, 1997, vol. 56, no. 2, pp. 726–728.Самарский, А. А. Коэффициентная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус // Матем. моделирование. – 1998. – Т. 10, № 8. – С. 103–113.Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Matus P. P. Coefficient stability of differential-operator equations and operator-difference schemes. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 1998, vol. 10, no. 8, pp. 103–113 (in Russian).Matus, P. P. Well-posedness and blow up for IBVP for semilinear parabolic equations and numerical methods / P. P. Matus, S. V. Lemeshevsky, A. N. Kandratsiuk // Computational Methods in Applied Mathematics. – 2010. – Vol. 10, N 4. – P. 395–421. https://doi.org/10.2478/cmam-2010-0024Matus P. P., Lemeshevsky S. V., Kandratsiuk A. N. Well-posedness and blow up for IBVP for semilinear parabolic equations and numerical methods. Computational Methods in Applied Mathematics, 2010, vol. 10, no. 4, pp. 395–421. https://doi.org/10.2478/cmam-2010-0024Матус, П. П. Коэффициентная устойчивость решения разностной схемы, аппроксимирующей смешанную задачу для полулинейного параболического уравнения / П. П. Матус, С. В. Лемешевский // Дифференц. уравнения. – 2018. – Т. 54, № 7. – С. 947–955.Matus P. P., Lemeshevsky S. V. Coefficient Stability of the Solution of a Difference Scheme Approximating a Mixed Problem for a Semilinear Parabolic Equation. Differential equations, 2018, vol. 54, pp. 929–937. https://doi.org/10.1134/s0012266118070108Samarskii, A. Computational Heat Transfer / A. Samarskii, P. Vabishchevich. – Chichester, 1995. – Vol. 1: Mathematical Modelling. – 406 р.Samarskii A., Vabishchevich P. Computational Heat Transfer, Volume 1, Mathematical Modelling. Chichester, 1995. 406 p.Bihari, I. A generalization of a lemma of Bellman and its application to uniqueness problems of differential equations / I. Bihari // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. – 1956. – Vol. 7, N 1. – P. 81–94. https://doi.org/10.1007/bf02022967Bihari I. A generalization of a lemma of Bellman and its application to uniqueness problems of differential equations. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1956, vol. 7, no. 1, pp. 81–94. https://doi.org/10.1007/bf02022967Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. – Москва, 1980. – 496 с.Trenogin V. A. Functional analysis. Moscow, 1980. 496 p. (in Russian).Stability of solutions of differential-operator and operator-difference equations in the sense of perturbation of operators / B. S. Jovanovich [et al.] // Comp. Meth. Appl. Math. – 2006. – Vol. 6, N 3. – P. 269–290. https://doi.org/10.2478/cmam-2006-0015Jovanovich B. S., Lemeshevsky S. V., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Stability of solutions of differential-operator and operator-difference equations in the sense of perturbation of operators. Computational Methods in Applied Mathematics, 2006, vol. 6, no. 3, pp. 269–290. https://doi.org/10.2478/cmam-2006-0015Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – Москва, 1989. – 432 с.Samarskii A. A., Gulin A. V. Numerical methods. Moscow, 1989. 432 p. (in Russian).Samarskii, A. Difference Schemes with Operator Factors / A. Samarskii, P. Matus, P. Vabishchevich. – London, 2002. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Samarskii A., Matus P., Vabishchevich P. Difference Schemes with Operator Factors. London, 2002. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Демидович, В. Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений / В. Б. Демидович // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 7. – С. 1247–1255.Demidovich V. B. On one sign of the stability of difference equations. Differential equations, 1969, vol. 5, no. 7, pp. 1247–1255 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.