danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2020-64-4-391-398dan-894Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSМонотонные разностные схемы повышенного порядка точности для параболических уравненийMonotone difference schemes of higher accuracy for parabolic equationsМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович - член-корреспондент, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт математики НАН Беларуси.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск.

Matus Piotr P. - Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief researcher. Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus.

11, Surganov Str., 220072, Minsk.

piotr.p.matus@gmail.comУтебаевБ. Д.UtebaevB. D.

Утебаев Бахадыр Даулетбай улы – аспирант, Институт математики НАН Беларуси.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск.

Utebaev Bakhadir D. - Postgraduate student. Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus.

11, Surganov Str., 220072, Minsk.

bakhad-ir1992@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Католический университет ЛюблинаInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Institute of Mathematics and Computer Science The John Paul II Catholic University of LublinИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202029082020644391398Copyright © Матус П.П., Утебаев Б.Д., 20202020Матус П.П., Утебаев Б.Д.Matus P.P., Utebaev B.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/894

Строятся и исследуются монотонные разностные схемы для линейных неоднородных параболических уравнений, уравнения Фишера, или Колмогорова-Петровского-Пискунова. Доказывается устойчивость и сходимость предложенных методов в равномерной норме  L∞ или С. Полученные результаты обобщаются на произвольные полулинейные параболические уравнения с нелинейным стоком произвольного вида, а также на квазилинейные уравнения.

In this article, monotone difference schemes for linear inhomogeneous parabolic equations, the Fisher or Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equations are constructed and investigated. The stability and convergence of the proposed methods in the uniform norm L∞  or С is proved. The results obtained are generalized to arbitrary semi-linear parabolic equations with an arbitrary nonlinear sink, as well as to quasi-linear equations.

монотонная разностная схемапринцип максимумаразностные схемы повышенного порядкакомпактные схемыmonotone difference schemesmaximum principlehigh-order difference schemes and compact schemesReferencesMatus, P. Stability and monotonicity of difference schemes for nonlinear scalar conservation laws and multidimensional quasi-linear parabolic equations / P. Matus, S. V. Lemeshevsky // Comput. Meth. Appl. Math. - 2009. - Vol. 9, N 3. - P. 253-280. https://doi.org/10.2478/cmam-2009-0016Matus P. P., Lemeshevsky S. V. Stability and monotonicity of difference schemes for nonlinear scalar conservation laws and multidimensional quasi-linear parabolic equations. Computational Methods in Applied Mathematics, 2009, vol. 9, no. 3, pp. 253-280. https://doi.org/10.2478/cmam-2009-0016Монотонные разностные схемы для систем эллиптических и параболических уравнений / Ф. Ж. Гаспар [и др.] // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. - 2016. - Т. 60, № 5. - С. 29-33.Gaspar F. G., Matus P. P., Tuyen V. T. K., Hieu L. M. Monotone difference schemes for systems of elliptic and parabolic equations. Doklady Natsional'noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 5, pp. 29-33 (in Russian).Liao, W. A fourth-order compact finite difference scheme for solving unsteady convection-diffusion equations / W. Liao, J. Zhu // Computational Simulations and Applications. - 2011. - P. 81-96. https://doi.org/10.5772/25149Liao W., Zhu J. A fourth-order compact finite difference scheme for solving unsteady convection-diffusion equations. Computational Simulations and Applications. 2011, pp. 81-96. https://doi.org/10.5772/25149Толстых, А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А. И. Толстых. -М., 1990. - 230 с.Tolstykh A. I. Compact difference schemes and their applications to fluid dynamics problems. Moscow, 1990. 230 p. (in Russian).Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1963. - Т. 3, № 5. - С. 812-840.Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107-1146. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6Matus, P. Stability of difference schemes for nonlinear time-dependent problems / P. Matus // Comput. Meth. Appl. Math. -2003. - Vol. 3, N 2. - P. 313-329. https://doi.org/10.2478/cmam-2003-0020Matus P. Stability of difference schemes for nonlinear time-dependent problems. Computational Methods in Applied Mathematics, 2003, vol. 3, no. 2. pp. 313-329. https://doi.org/10.2478/cmam-2003-0020Godlewski, E. Hyperbolic systems of conservation laws / E. Godlewski, P.-A. Raviart. - Ellipses, 1991. - 254 p.Godlewski E., Raviart P.-A. Hyperbolic systems of conservation laws. Ellipses, 1991. 254 p.Matus, P. The maximum principle and some of its applications / P. Matus // Comput. Meth. Appl. Math. - 2002. - Vol. 2, N 1. - P. 50-91. https://doi.org/10.2478/cmam-2002-0004Matus P. The maximum principle and some of its applications. Computational Methods in Applied Mathematics, 2002, vol. 2, no. 1, pp. 50-91. https://doi.org/10.2478/cmam-2002-0004Samarskii, A. A. Difference Schemes with Operator Factors / А. А. Samarskii, P. N. Vabishchevich, P. P. Matus. - London, 2002. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference Schemes with Operator Factors. London, 2002. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Samarskii, A. A. The Theory of Difference Schemes / A. A. Samarskii. - New York, 2001. - 786 p. https://doi.org/10.1201/9780203908518Samarskii A. A. The Theory of Difference Schemes. New York, 2001. 786 p. https://doi.org/10.1201/9780203908518Matus, P. P. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations / P. P. Matus, L. M. Hieu, L. G. Vulkov // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2017. - Vol. 310. - P. 186-199. https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.006Matus P. P., Hieu L. M., Vulkov L. G. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, vol. 310, pp. 186-199. https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.006

The authors declare that there are no conflicts of interest present.