danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2020-64-5-526-533dan-910Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКомпактные разностные схемы для уравнения Клейна-ГордонаCompact difference schemes for Klein-Gordon equationМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович - член-корреспондент, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник.ул. Сурганова, 11, 220072, Минск.

Matus Piotr P. - Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief researcher, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus.11, Surganov Str., 220072, Minsk.

piotr.p.matus@gmail.comАньХ. Т. К.AnhH. T. K.

Хоанг Тхи Киеу Ань - аспирант.пр. Независимости, 4, 220030, Минск.

Hoang Thi Kieu Anh - Postgraduate student, Belarusian State University.4, Niezavisimosti Ave., 220030, Minsk.

kieuanhhoang86@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Католический университет ЛюблинаInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Institute of Mathematics and Computer Science The John Paul II Catholic University of LublinБелорусский государственный университетBelarusian State University202003112020645526533Copyright © Матус П.П., Ань Х.Т., 20202020Матус П.П., Ань Х.Т.Matus P.P., Anh H.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/910

В настоящей работе рассматриваются компактные разностные схемы четвертого порядка аппроксимации для линейных, полулинейных и квазилинейных уравнений Клейна-Гордона. Для линейных уравнений доказывается сильная устойчивость разностного решения по отношению к малому возмущению начальных условий, правой части и коэффициентов уравнений. На примере вычислительного эксперимента показывается, как использовать правило Рунге для определения разных порядков скорости сходимости разностной схемы в случае наличия двух независимых переменных.

In this paper, we consider compact difference approximation of the fourth-order schemes for linear, semi-linear, and quasilinear Klein-Gordon equations. with respect to a small perturbation of initial conditions, right-hand side, and coefficients of the linear equations the strong stability of difference schemes is proved. The conducted numerical experiment shows how Runge rule is used to determine the orders of convergence of the difference scheme in the case of two independent variables.

компактная разностная схемауравнение Клейна-Гордонааприорные оценкиустойчивостьсходимостьcompact difference schemesKlein-Gordon equationpriori estimatesstabilityconvergenceReferencesПаасонен, В. И. Компактные схемы для систем уравнений второго порядка с конвективными членами / В. И. Паасонен // Численные методы механики сплошной среды. - 1998. - Т. 3, № 1. - С. 55-66.Paasonen V. I. Compact schemes for systems of second-order equations without mixed derivatives. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 1998, vol. 13, no. 4. https://doi.org/10.1515/rnam.1998.13.4.335Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журн. вычисл. математики и матем. физ. - 1963. - Т. 3, № 5. - С. 812-840.Samarsky A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107-1146. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6Толстых, А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А. И. Толстых. - М., 1990. - 230 с.Tolstykh A. I. Compact difference schemes and their application to problems of aerohydrodynamics. Moscow, 1990. 230 p. (in Russian).Caudrey, P. J. The sine-Gordon equation as a model classical field theory / P. J. Caudrey, J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon // Il Nuovo Cimento B Series 11. - 1975. - Vol. 25, N 2. - P. 497-512. https://doi.org/10.1007/bf02724733Caudrey P. J., Eilbeck J. C., Gibbon J. D. The sine-Gordon equation as a model classical field theory. Il Nuovo Cimento B Series 11, 1975, vol. 25, no. 2, pp. 497-512. https://doi.org/10.1007/bf02724733Luo, Y. Fourth-order compact and energy conservative scheme for solving nonlinear Klein-Gordon equation / Y. Luo, X. Li, C. Guo // Numer. Methods Partial Differential Equations. - 2017. - Vol. 33, N 4. - P. 1283-1304. https://doi.org/10.1002/num.22143Luo Y., Li X., Guo C. Fourth-order compact and energy conservative scheme for solving nonlinear Klein-Gordon equation. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2017, vol. 33, no. 4, pp. 1283-1304. https://doi.org/10.1002/num.22143Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. - М., 1989. - 616 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. Moscow, 1989. 616 p. (in Russian).Самарский, А. А. Разностные схемы с операторными множителями / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус. - Минск, 1998. - 442 с.Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. Dordrecht, 2002. 384 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Матус, П. П. Коэффициентная устойчивость трехслойных операторно-разностных схем / П. П. Матус, Й. Н. Панайотова // Журн. вычисл. математики и матем. физ. - 2001. - Т. 41, № 5. - С. 722-731.Matus P. P., Panayotova I. N. Coefficient Stability of Three-Level Operator-Difference Schemes. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2001, vol. 41, no. 5, pp. 678-687.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.