danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-1-11-17dan-939Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб аппроксимации функции |sin x| s частичными суммами тригонометрических рациональных рядов Фурье (на бел. яз.)Approximation of the function |sin x| s by the partial sums of the trigonmometric rational fourier seriesКазлоўскаяН. Ю.KazlouskayaN. Yu.

Козловская Наталья Юрьевна – аспирант

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Kazlouskaya Natallia Yu. – Postgraduate student

22, Azheshka Str., 230023, Grodna

kozlowskaya_natalya@tut.byРоўбаЯ. А.RovbaYa. A.

Ровба Евгений Алексеевич – д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Rovba Yaugeni A. – D. Sc (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department

22, Azheshka Str., 230023, Grodna

rovba.ea@gmail.comГродзенскі дзяржаўны ўніверсітэт імя Янкі КупалыYanka Kupala State University of Grodno2021220220216511117Copyright © Казлоўская Н.Ю., Роўба Я.А., 20212021Казлоўская Н.Ю., Роўба Я.А.Kazlouskaya N.Y., Rovba Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/939

В работе исследуются приближения функции |sin x| s частичными суммами рациональных тригонометрических рядов Фурье. Для рассматриваемых приближений получены интегральное представление и поточечная и равномерная оценки. На их основе рассмотрены некоторые случаи специального выбора полюсов. Получено асимптотическое соотношение для приближений частичными суммами полиномиальных тригонометрических рядов Фурье. Подробно исследуется случай фиксированного числа геометрически различных полюсов.

In the present article, the approximation of the function |sin x| s by the partial sums of the rational trigonometric Fourier series is considered. An integral representation, uniform and point estimates for the above-mentioned approximation were obtained. Based on them, several special cases of the selection of poles were studied. In the case of the approximation by the partial sums of the polynomial trigonometric Fourier series, an asymptotic equality was found. A detailed study is made of a fixed number of geometrically different poles.

рациональные тригонометрические ряды Фурьерациональная аппроксимацияфункция со степенной особенностьюrational trigonometric Fourier seriesrational approximationfunction with power singularityReferencesБари, Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. – М.: Физматгиз, 1961. – 937 с.Bari N. K. Trigonometric series. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. 937 p. (in Russian).Edwards, R. E. Fourier series: a modern introduction: in 2 vol. / R. E. Edwards. – New York, 1967. – Vol. 2.Edwards R. E. Fourier series: a modern introduction. Vol. 2. New York, 1967.Takenaka, S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations / S. Takenaka // Japanese Journal of Mathematics. – 1925. – Vol. 2. – P. 129–145. https://doi.org/10.4099/jjm1924.2.0_129Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations. Japanese Journal of Mathematics, 1925, vol. 2, pp. 129–145. https://doi.org/10.4099/jjm1924.2.0_129Malmquist, F. Sur la determination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne de points / F. Malmquist // Compte Rendus: Six. Cong. math. scand. – 1925. – P. 253–259.Malmquist F. Sur la determination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne de points. Compte Rendus: Six. Cong. math. scand. Kopenhagen, 1925, pp. 253–259 (in French).Джрбашян, М. М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М. М. Джрбашян // Изв. Академии наук Армянской ССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1956. – Т. 9, № 7. – С. 3‒28.Dzhrbashian M. M. To Fourier series theory about rational functions. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoi SSR. Seriya fiziko-matematicheskikh nauk [Proceedings of the Academy of Sciences of the Armenian SSR. Series of Physical and Mathematical Sciencies], 1956, vol. 9, no. 7, pp. 3‒28 (in Russian).Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ, 1979. – 178 с.Rusak V. N. Rational functions as approximation apparatus. Minsk, Publishing House of the Belarusian State University, 1979. 178 p. (in Russian).Lorentz, G. G. Constructive Approximation. Advanced Problems / G. G. Lorentz, M. V. Golitschek, Y. Makovoz. – Berlin, 1996. – 651 p.Lorentz G. G., Golitschek M. V., Makovoz Y. Constructive Approximation. Advanced Problems. Berlin, 1996. 651 p.Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x|p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштейн // Изв. Академии наук СССР. Сер. математ. – 1938. – Т. 2, № 2. – С. 169–190.Bernshtein S. N. On the approximation of |x|p by polynomials of the very high degree. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya mathematicheskaya = Izvestiya: Mathematics,1938, vol. 2, no. 2, pp. 169–190 (in Russian).Stahl, H. Best uniform rational approximation of |x|α on [0, 1] / H. Stahl // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1993. – Vol. 28, N 1. – P. 116–123. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1993-00351-3Stahl H. Best uniform rational approximation of |x|α on [0, 1]. Bulletin of the American Mathematical Society, 1993, vol. 28, no. 1, pp. 116–123. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1993-00351-3Роўба, Я. А. Аб набліжэнні функцыі |sin x| рацыянальнымі аператарамі Феера / Я. А. Роўба, Н. Ю. Казлоўская // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2017. – № 3. – С. 27–39.Rovba E. A., Kozlovskaya N. Yu. Approximation of |sin|x by rational operators of Fejér type. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 3, pp. 27–39 (in Belarussian).Эрдэйи, А. Асимптотические разложения / А. Эрдэйи. – М.: Физматгиз, 1962. – 128 с.Erdélyi A. Asymptotic expansions. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962. 128 p. (in Russian).Казлоўская, Н. Ю. Дакладныя ацэнкі набліжэння функцыі |sin x| некаторымі метадамі / Н. Ю. Казлоўская // Наука–2015: сборник научных статей. – Гродно: ГрГУ им. Янки Купалы, 2015. – Ч. 1. – С. 163–166.Kazlouskaya N. Ju. Sharp estimates for the approximation of the function |sin x| by some methods. Nauka–2015: Sbornik nauchnykh statei [Science–2015. Collection of scientific articles]. Grodno, Yanka Kupala State University of Grodno, 2015, vol. 1, pp. 163–166 (in Belarusian).Ровба, Е. А. О рациональной интерполяции функции |x|α по расширенной системе узлов Чебышева–Маркова / Е. А. Ровба, В. Ю. Медведева // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 4. – С. 391–405. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405Rovba Y. A., Medvedeva V. Ju. Rational interpolation of the function |x|α by an extended system of Chebyshev – Markov nodes. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 4, pp. 391–405 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405Поцейко, П. Г. Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье – Чебышёва и аппроксимации функций Маркова / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба, К. А. Смотрицкий // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. – 2020. – № 2. – С. 6–27. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27Patseika P. G., Rouba Y. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier–Chebyshev type and approximation of Markov functions. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2020, no. 2, pp. 6–27 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27

The authors declare that there are no conflicts of interest present.