danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-1-18-24dan-940Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСтационарные орбиты линейных нестационарных систем наблюденияStationary orbits of linear time-varying observation systemsАстровскийА. И.AstrovskiiA. I.

Астровский Анатолий Иванович – д-р физ.-мат. наук, профессор

Партизанский пр., 26, 220070, Минск

 

Astrovskii Anatoly I. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor  

26, Partizanskii Ave., 220070, Minsk

aastrov@tut.byБелорусский государственный экономический университетBelarus State Economic Univesity2021220220216511824Copyright © Астровский А.И., 20212021Астровский А.И.Astrovskii A.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/940

Для линейных нестационарных систем наблюдения со скалярным выходом доказаны необходимые и достаточные условия, при выполнении которых исходную систему наблюдения можно преобразовать к стационарному виду с помощью группы линейных нестационарных дифференцируемых преобразований. Указан полный инвариант действия группы преобразований на множестве равномерно наблюдаемых систем. Описан конструктивный алгоритм построения эквивалентной стационарной системы для заданной линейной нестационарной системы наблюдения.

In terms of matrix observability, the necessary and sufficient conditions are obtained for the linear timevarying observation system to have stationary orbits with respect to the linear time-varying transformation group of class C1 . The full invariant of the action of a transformation group is described. It is proved that for any matrix function A c C(T, Rn×n ), there exists such an n-vector function c(t), t c T, that the pair (A, c) is uniformly observable. The algorithm for constructing a stationary system is described.

линейная нестационарная система наблюденияравномерная наблюдаемостьгруппа преобразованийстационарная системаприводимостьполные инвариантыlinear time-varying observation systemuniform observabilitytransformation groupstationary systemreducible systemfull invariantsReferencesЛяпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. – М.: ГИТТЛ, 1950. – 472 с.Lyapunov A. M. On general problem of stability motion. Moscow, GITTL Publ., 1950. 472 p. (in Russian).Еругин, Н. П. Приводимые системы / Н. П. Еругин. – М.: Издательство Академии наук СССР, 1946. – Т. 13. – 96 с.Erugin N. P. Reducible systems. Vol. 13. Moscow, USSR Academy of Sciences Publishing House,1946. 96 p. (in Russian).Богданов, Ю. С. О матрицах, коммутирующих со своей производной / Ю. С. Богданов, Г. Н. Чеботарев // Изв. вузов. Математика. – 1959. – № 4(11). – С. 27–37.Bogdanov U. S., Chebotarev G. N. About commuting matrices with its derivative. Izvestiya vuzov. Matematika = Russian Mathematics, 1959, no. 4(11), pp. 27–37 (in Russian).Богданов, Ю. С. Асимптотические характеристики решений линейных дифференциальных систем / Ю. С. Богданов // Тр. четвертого Всесоюзн. матем. съезда. – Л., 1964. – Т. 2. – С. 424–432.Bogdanov U. S. Asymptotic characteristic of solutions of linear differential systems. Trudy chetvertogo Vsesoyuznogo matematicheskogo s’ezda. Vol. 2 [Proceedings of the Fourth All-Union Mathematical Congress]. Leningrad, 1964, pp. 424–432 (in Russian).Гайшун, И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем / И. В. Гайшун. – М.: Эдиториал УРСС, 2004. – 409 с.Gaishun I. V. Introduction to the theory of linear nonstationary systems. Moscow, Editorial URSS Publ., 2004. 409 p. (in Russian).Izobov, N. A. Lyapunov Exponents and Stability / N. A. Izobov. – Cambridge, 2012. – 353 p.Izobov N. A. Lyapunov Exponents and Stability. Cambridge, 2012. 353 p.Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. – Минск: Беларуская навука, 2012. – 407 с.Makarov E. K., Popova S. N. Controllability of asymptotic invariants of time-varying linear systems. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2012. 407 p. (in Russian).Астровский, А. И. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений / А. И. Астровский, И. В. Гайшун. – Минск: Беларуская навука, 2013. – 213 с.Astrovskii A. I., Gaishun I. V. Linear systems with quasidifferential coefficients: controllability and observability of motion. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2013. 213 p. (in Russian).Астровский, А. И. Оценивание состояний линейных нестационарных систем наблюдения / А. И. Астровский, И. В. Гайшун // Дифференциальные уравнения. – 2019. – Т. 55, № 3. – С. 370–379. https://doi.org/10.1134/S0374064119030117Astrovskii A. I., Gaishun I. V. State Estimation for Linear Time-Varying Observation Systems. Differential Equations, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 363–373. https://doi.org/10.1134/s0012266119030108Astrovskii, A. I. Observability of Linear Time-Varying Systems with Quasiderivative Coefficients / A. I. Astrovskii, I. V. Gaishun // SIAM J. Control and Optimization. – 2019. – Vol. 57, N 3. – P. 1710–1729. https://doi.org/10.1137/18m1167115Astrovskii A. I., Gaishun I. V. Observability of Linear Time-Varying Systems with Quasiderivative Coefficients. SIAM Journal on Control and Optimization, 2019, vol. 57, no. 3, pp. 1710–1729. https://doi.org/10.1137/18m1167115Гайшун, И. В. Описание множества равномерно наблюдаемых линейных нестационарных систем / И. В. Гайшун, А. И. Астровский // Докл. акад. наук Беларуси. – 1996. – Т. 40, № 5. – С. 5–8.Gaishun I. V., Astrovskii A. I. Description of the set of uniformly observable linear time-varying systems. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 1996, vol. 40, no. 5, pp. 5–8 (in Russian).Морозов, В. М. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах / В. М. Морозов, В. И. Каленова. – M.: Изд-во МГУ, 1988. – 144 с.Morozov V. M., Kalenova V. I. Estimation and control of time-varying linear systems. Moscow, Moscow State University Publishing House, 1988. 144 p. (in Russian).Калёнова, В. И. Приводимость линейных нестационарных систем второго порядка с управлением и наблюдением / В. И. Калёнова, В. М. Морозов // Прикладная математика и механика. – 2012. – Т. 76, вып. 4. – С. 574–586.Kalenova V. I., Morozov V. M. The reducibility of linear second-order time-varying systems with control and observation. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2012, vol. 76, no. 4, pp. 413–422. https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2012.09.008

The authors declare that there are no conflicts of interest present.